матан
.pdf
41
Варианты контрольных работ
Вариант 1
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)
Контрольная работа № 1
1. Найти ранг матрицы:
0 |
4 |
10 |
1 |
|
||
|
4 |
8 |
18 |
7 |
|
|
|
|
|||||
|
10 |
18 |
40 |
17 |
. |
|
|
|
7 |
17 |
3 |
|
|
1 |
|
|||||
2. Найти предел: |
|
|
|
|
|
|
lim |
3 x 3 |
2 3x |
. |
|||
|
|
|
|
|||
x |
|
x 2 1 |
|
|
||
3. Найти производную функции:
y x ln5 3x e x ln 4.
4.Найти два положительных числа, сумма которых равна 6,
асумма их кубов является наименьшей.
5.Составить уравнения касательных к графику функции
3x 2
, параллельных прямой, проходящей через точки (1; 8)
x 1
и(–1; –2). Сделать чертеж.
6.Исследовать функцию y x 2 x 1 и построить схематично
x 2 x 1
ее график.
42
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
23x x 1 dx.
2.Вычислить определенный интеграл:
e |
5ln x 4 |
|
|
|
dx. |
||
|
|||
x |
|||
1 |
|
|
|
3. Вычислить определенный интеграл:
1 |
|
dx |
|
|
|
||
|
|
. |
|
x 2 |
5x 6 |
||
0 |
|
|
|
4. Решить дифференциальное уравнение: y 2y x.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y x2 , y 2x, y x.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
xi |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
yi |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
В результате их выравнивания получена функция y 5 . Ис x
пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).
Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Вычислить приближенно определенный интеграл
0,5 1 e x3 dx,
0
взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд Мак лорена. Оценить погрешность.
43
Вариант 2
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)
Контрольная работа № 1
1. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:
|
x |
|
2x |
2 |
|
4x |
3 |
|
3, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
3x1 |
x2 |
3x3 |
6, |
||||||
2x |
|
2x |
2 |
|
5x |
3 |
|
0. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2. Найти предел:
lim x x2 x 1 .
x
3. Найти производную функции:
e4x2
y 3 ln2 7x e35 .
4. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18?
5. Составить уравнения касательных к графику функции
y x2 4x 5, проведенных в точках ее пересечения с прямой y x 1. Сделать чертеж.
6. Исследовать функцию y 3 x e 3 x и построить схематич но ее график.
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
x4 ln x dx.
2.Вычислить определенный интеграл:
1 x 2 5
0 x 1 dx.
44
3. Вычислить определенный интеграл:
3 2 2x3 1 x2dx.
1
4. Решить дифференциальное уравнение: 2x2 y dx 2x3 y3 dy.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y ln x 2 , y 2ln x, y 0.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
yi |
2 |
5 |
15 |
20 |
30 |
В результате их выравнивания получена функция y x2 3. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и
b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде лать чертеж.
7. Найти область сходимости степенного ряда:
|
x |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
. |
||
n |
3 |
|
|
||
n 1 |
|
1 |
|||
Вариант 3
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)
Контрольная работа № 1
1. Методом обратной матрицы решить систему линейных урав нений:
45
|
x |
|
2x |
2 |
|
4x |
3 |
|
4, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
x2 |
3x3 |
|
2, |
|||||
2x |
|
3x |
2 |
|
x |
3 |
|
8. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2. Найти предел:
x 1
lim 1 2x x .
x 0
3. Найти производную функции:
y |
ln3 3 3x 1 |
|
ln 2 |
. |
|
|
|||
5 |
|
2 x 2 x |
||
4. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квад ратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Ка кими должны быть размеры резервуара, чтобы расход олова ока зался минимальным? (Толщиной стенок пренебречь.)
5. Составить уравнения касательных к графику функции
y x 2 , образующих с осью Ох угол 135o. Сделать чертеж. x 2
6.Исследовать функцию y x 1 4 и построить схематично ее
1 x
график.
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
3x 2x 5 dx.
2.Вычислить определенный интеграл:
e |
dx |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
||
x ln2 x 5ln x 6 |
|
46
3. Вычислить определенный интеграл:
1
e x dx.
0
4. Решить дифференциальное уравнение: 2y 3y e3 x .
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y x3 , y x2 , x 2, x 1.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
yi |
1,3 |
1,8 |
2,2 |
2,3 |
2,6 |
3 |
|
В результате их выравнивания получена функция y |
x 2. |
|||||||
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и
b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде лать чертеж.
7. Используя разложение функции y ln |
|
x |
|
в степенной |
1 |
|
|||
ряд, вычислить ln 1,12 с точностью до 0,001. |
|
|
|
|
Вариант 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:
2x |
4x |
2 |
3x |
3 |
|
3, |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0, |
|||
x1 |
2x2 |
5x3 |
||||||||
2x |
|
3x |
2 |
|
x |
3 |
|
6. |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
47
2. Найти предел:
3 |
x 6 2 |
|
|
lim |
|
|
. |
|
x 2 |
||
x 2 |
|
||
3. Найти производную функции:
|
2 |
|
|
1 3x |
3ln 5x2 1
4.Под посевы элитных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 324 м2 и вдоль всей границы око пали рвом. Найти такие длину и ширину участка, при которых сто имость рва является наименьшей.
5.Составить уравнения касательных к графику функцииx ey ln 8.
y 2x 5 , перпендикулярных прямой, проходящей через точки
2x 4
(1; 1) и (–1; 0). Сделать чертеж.
6. Исследовать функцию y 2x 3 3 x2 и схематично постро ить ее график.
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
x3 5x2 7x 9 dx. x 1
2.Вычислить определенный интеграл:
e 2ln x 1 3 dx
x .
1
3. Вычислить определенный интеграл:
1
ex3 x5dx.
0
48
4. Решить дифференциальное уравнение: 7xy dx y2 7x2 dy.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 6, y x2 5x 6.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
4 |
4,5 |
5 |
|
5,5 |
6 |
|
|
yi |
|
0,8 |
0,5 |
0,2 |
|
0,4 |
0,9 |
|
В результате |
их |
выравнивания |
получена функция |
||||||
y x 5 2 . Используя метод наименьших квадратов, аппроксими
ровать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти пара
метры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле мето да наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные дан ные. Сделать чертеж.
7. Найти область сходимости степенного ряда:
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
. |
|
3 |
n |
n 1 |
|||
n 0 |
|
|
|||
Вариант 5
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)
Контрольная работа № 1
1. Решить матричное уравнение:
АХВ C,
где |
2 |
5 |
4 |
5 |
2 |
1 |
A |
|
, B |
|
, C |
. |
|
|
1 |
3 |
3 |
4 |
1 |
2 |
49
2. Найти предел:
lim |
x 6 x 5 32x10 1 |
. |
|
x 4 x 3 x3 1 |
|||
x |
|
3. Найти производную функции:
y ln2 2x 3 x e7 2x 3 2e6 . 2x 3
4.Из всех прямоугольных участков с диагональю 8 дм найти размеры участка, имеющего наибольшую площадь.
5.Хорда параболы y x2 2x 5 соединяет точки с абсциссами
x1 1 и x2 3 .
Составить уравнение касательной к параболе, параллельной этой хорде. Сделайть чертеж.
6. Исследовать функцию y |
ln x |
и построить схематично ее |
|
x2 |
|||
|
|
||
график. |
|
||
Контрольная работа № 2
1. Найти неопределенный интеграл:
ln x dx.
5 x
2. Вычислить определенный интеграл:
e |
dx |
|
||
|
|
. |
||
|
|
|
||
1 x |
ln2 x 8 |
|||
|
||||
3. Вычислить определенный интеграл:
1 |
x4dx |
|
|
|
. |
4x5 2 |
||
0 |
|
|
50
4. Решить дифференциальное уравнение: 5y 10y e x .
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 , y 8 , y 8, x 0. x
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
yi |
10 |
5 |
2 |
0,5 |
0,2 |
В результате их выравнивания получена функция y 3 x . Ис пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан
ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).
Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Найти область сходимости степенного ряда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
x n |
|
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
2n 1 |
|
||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)
Контрольная работа № 1
1. Найти ранг матрицы
|
|
|
|
|
|
С A B , |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
где |
|
3 |
4 |
|
|||
A |
|
, B |
|
. |
|||
|
|
2 |
1 |
|
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||