матан
.pdf
51
2. Найти предел:
2
2x 3 3 x lim .
x 2x 1
3. Найти производную функции:
y ln2 |
|
|
|
5 |
|
|
xe x2 |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
|
3 |
||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|||
4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого 1800 дм3, а стороны основания соотносятся как 2 : 3. Какими должны быть размеры ящика, чтобы расход материала оказался наимень шим?
5.Составить уравнения касательных к графику функции
y x2 1 x 2 в точках ее пересечения с осями координат. Сде
лать чертеж.
6. Исследовать функцию y |
x2 |
2x 7 |
|
|
|
и построить схематич |
|
x 2 |
|
||
|
2x 3 |
||
но ее график.
Контрольная работа № 2
1. Найти неопределенный интеграл:
|
dx |
. |
|
x2 7x 8 |
|||
|
2. Вычислить определенный интеграл:
2 |
|
|
1 |
|
|
|
e |
x dx |
|||||
|
|
|||||
|
|
. |
||||
|
x2 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить определенный интеграл:
e
ln x x 3dx.
1
52
4. Решить дифференциальное уравнение:
y x2 4 dy x y2 8 dx 0.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y x 5 1 x , y 4, x 1.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
yi |
–1,2 |
–0,71 |
–0,01 |
0,53 |
0,82 |
0,92 |
|
|
|
В результате их выравнивания получена функция |
y |
2x 1 |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и
b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде лать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
|
n 2n 5 |
|
|||
1 |
. |
||||
|
|
|
|||
3 |
n |
||||
n 1 |
|
|
|||
В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютная или условная).
Вариант 7
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)
Контрольная работа № 1
1. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:
2x |
3x |
2 |
|
4x |
3 |
|
2, |
||
|
1 |
|
|
|
|
0, |
|||
x1 |
2x2 |
x3 |
|||||||
3x |
|
4x |
2 |
|
x |
3 |
|
2. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
53
2. Найти предел:
lim |
ex2 x 1 |
. |
|
x2 x |
|||
x 0 |
|
3. Найти производную функции:
y ln 3x4e5x 2 x 10 x e 5 . 4 x2
4.Число 49 представить в виде произведения двух положитель ных множителей, сумма квадратов которых является наименьшей.
5.Составить уравнение касательной к графику функции
y x2 6x 5, |
перпендикулярной прямой x 2y 7 0 . Сделать |
||
чертеж. |
|
|
|
6. Исследовать функцию y |
x |
и построить схематично |
|
|
|||
3 x 2 2 |
|||
ее график.
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
ex3 1 x2dx.
2.Вычислить определенный интеграл:
6
х x 2 dx.
2
3. Вычислить определенный интеграл:
3 |
|
x |
|
3x 1 e 3 |
dx. |
||
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4. Решить дифференциальное уравнение:
y |
y |
e3 x x 5 . |
|
||
|
x 5 |
|
54
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y ln x, x e, x e2 , y 0.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
yi |
5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
10 |
18 |
В результате их выравнивания получена функция y x 1 2 . Используя метод наименьших квадратов, аппроксими
ровать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти пара
метры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле мето да наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные дан ные. Сделать чертеж.
7. Исследовать ряд на сходимость:
|
n |
5n3 9 |
. |
||
1 |
|
n n |
3 |
4 |
|
n 1 |
|
|
|||
В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютная или условная).
Вариант 8
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)
Контрольная работа № 1
1. Методом обратной матрицы решить систему линейных урав нений:
|
x |
|
2x |
2 |
|
3x |
3 |
|
5, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
3x1 |
2x2 |
x3 |
|
1, |
|||||
2x |
|
x |
2 |
|
2x |
3 |
|
2. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
55
2. Найти предел:
lim |
9 x 3 |
. |
|
||
x 0 |
4 x 2 |
|
3. Найти производную функции:
y 5eln 3x 3 x ln2 |
3 25x 7 . |
4.Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене завод ского здания, нужно обнести забором. Часть забора, параллельная стене, должны быть каменной, а остальная часть – деревянной. Площадь участка – 90 м2. Стоимость 1 м каменного забора составля ет 10 тыс. руб., а 1 м деревянного – 8 тыс. руб.
Найти такие размеры участка, чтобы стоимость забора была наименьшей. Какова эта стоимость?
5.Составить уравнения касательных к графику функции
y 2x 1, которые параллельны прямой 7x y 2 0 . Сделать x 3
чертеж.
4 x 1
6.Исследовать функцию y x 2 x 1 и построить схематично
ееграфик.
Контрольная работа № 2
1. Найти неопределенный интеграл:
|
x dx |
. |
|
x 4 9 |
|||
|
2. Вычислить определенный интеграл:
e
dx . 1 x ln x
3. Вычислить определенный интеграл:
5 |
|
x dx |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
||
x 2 |
4x 4 |
|||
|
||||
3 |
|
|
|
|
56
4. Решить дифференциальное уравнение:
e x |
|
x 1 dx |
3y |
dy 0. |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
||
|
|
|
y2 |
|
|
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x
y 2x , y 22 , x 2.
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:
|
|
|
|
|
|
xi |
–3 |
–1 |
1 |
3 |
6 |
yi |
–1,3 |
–2,6 |
3,3 |
08 |
0,8 |
В результате их выравнивания получена функция y 3 . Ис x
пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).
Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Используя разложение функции y 1 x m в степенной ряд,
вычислить 4 86 с точностью до 0,001.
Вариант 9
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)
Контрольная работа № 1
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:
3x |
|
2x |
2 |
|
x |
3 |
|
2, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2x1 |
x2 |
|
x3 |
|
4, |
||||
|
x |
|
4x |
2 |
|
3x |
3 |
|
6. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
57
2. Найти предел:
lim |
|
x2 2x 1 |
x2 7x 3 |
|
. |
x |
|
|
|
3. Найти производную функции:
y ln4 3x 1 7 .
5
e7x 2x 3
4.Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором, имеющим длину 56 м?
5.Составить уравнения касательных к графику функции
y 5x в точках ее пересечения с прямой, проходящей через точ x 1
ки с координатами (1; 5) и (–1; –5). Сделать чертеж.
e2 x
6. Исследовать функцию y 2 x и построить схематично ее график.
Контрольная работа № 2
1.Найти неопределенный интеграл:
e 5x 1 2x 3 dx.
2.Вычислить определенный интеграл:
9 4 x
dx.
1 x
3. Вычислить определенный интеграл:
5 |
2x 1 |
||
|
|||
|
dx. |
||
x2 2x 3 |
|||
4 |
|
|
|
4. Решите дифференциальное уравнение:
7xy |
xy 7y. |
58
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y2 2x 4, x 0 .
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
yi |
0,91 |
1,02 |
1,26 |
1,30 |
1,41 |
В результате их выравнивания получена функция y 4 x . Ис пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).
Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Исследовать сходимость числового ряда:
|
|
2n 1 |
|
n |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
. |
|||
2n 3 |
||||||
n 1 |
|
|
|
|||
Вариант 10
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)
Контрольная работа № 1
1. Найти матрицу
|
|
|
|
|
С A A 2E B, |
|
где |
2 |
3 |
1 0 |
3 |
2 |
|
A |
|
|
|
, B |
. |
|
|
3 |
1 |
2 |
4 |
2 |
1 |
2. Найти предел:
lim ln2 1 3x .
x 0 x3 7x2
59
3. Найти производную функции:
y 3 x3 xe6 x5 .
5 5 x
4. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкос тью 1000 см3.
При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наи меньшее количество материала?
5. Составить уравнения касательных к графику функции
y 2x 5 , перпендикулярных прямой, проходящей через точки x 2
(0; 3) и (1; 7). Сделать чертеж.
6. Исследовать функцию y 3 4x и схематично построить ее 2x2
график.
Контрольная работа № 2
1. Найти неопределенный интеграл:
ex dx
e2 x 5ex 4.
2. Вычислить определенный интеграл:
4 |
dx |
|
. |
1 |
x 5 |
x |
|
3. Вычислить определенный интеграл:
1
e2x x 2dx.
0
4.Решить дифференциальное уравнение: x ln x y2 4 dx 5y dy 0.
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y 2x, y 3x x2 .
60
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице.
|
|
|
|
|
|
xi |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
yi |
2,2 |
3,9 |
5,8 |
8,8 |
12,3 |
В результате их выравнивания получена функция y x2 x. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и
b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде лать чертеж.
7. Найти область сходимости степенного ряда:
5x n .
n 1 n!