матан

21

Тема 8. Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл диффе3 ренциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы диффе3 ренциала первого порядка [1, § 9.1, 9.2], [2, гл. 9] или [3, § 7.7–7.9, 7.13].

Дифференциал функции y = f (x) – главная линейная (относи тельно приращения x аргумента) часть приращения функции – равен dy =f´(x) dx.

Геометрический смысл дифференциала рассмотрен в [1, § 9.1] или [3, § 7.4].

Так как дифференциал функции равен произведению ее произ водной на дифференциал аргумента, то операция нахождения диф ференциала сводится к нахождению производной и также называет ся дифференцированием функции.

Важное свойство дифференциала первого порядка – инвариант ность его формы (или формулы). Это означает, что дифференциал функции y = f (u) равен dy = f´(u) du и не зависит от того, является ли u независимой переменной или функцией. Свойство инвариант ности формы дифференциала используется далее в интегральном исчислении.

Раздел IV. Функции нескольких переменных

Тема 9. Функции нескольких переменных

Функции двух и нескольких переменных. Частные производные и техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных и его необходимое условие. Понятие об эмпирических формулах и мето3 де наименьших квадратов. Построение методом наименьших квадра3 тов линейной функции по эмпирическим данным (вывод системы нор3 мальных уравнений) [1, § 15.1, 15.3, 15.6, 15.9], [2, § 15.1–15.4] или [3, § 9.1, 9.3, 9.7, 9.10, 9.12–9.15].

Фактически мы ограничиваемся рассмотрением функции двух переменных. Для успешного усвоения этого раздела рекомендуется использовать метод аналогии с функциями одной переменной, хотя с увеличением числа переменных возникают существенные каче

22

ственные отличия. Область определения функции двух переменных изображается множеством точек плоскости, а график – некоторой поверхностью в трехмерном пространстве ([1, пример 15.2] или [3, пример 9.2]).

В определении частной производной функции по одной из пере менных используется понятие частного приращения, а в остальном оно сходно с определением производной функции одной переменной. Обратите внимание на способы обозначения частных производных. Техника дифференцирования функции двух (нескольких) перемен ных включает те же правила и примеры, которые использовались при нахождении производных функций одной переменной.

Для экстремума функции двух переменных формулируются оп ределение и необходимое условие его существования ([1, § 15.6] или [3, § 9.7]), которые не являются достаточными.

Построение эмпирических формул методом наименьших квадра тов имеет большое прикладное значение, в том числе в статистичес ких и экономических исследованиях. Так как эмпирическая формула включает неизвестные параметры, то критерий, согласно которому она получается, является функцией этих параметров (функцией не скольких переменных). Параметры подбираются таким образом, чтобы критерий принял оптимальное (минимальное) значение. Воз никает задача нахождения экстремума функции нескольких пере менных – этим и объясняется рассмотрение в данном разделе метода наименьших квадратов.

Полученная методом наименьших квадратов, эмпирическая формула является приближением таблично заданной функции.

Следует отметить, что погрешность построенного приближения

число табличных значений (xi, yi). Используя полученное приближе ние, можно найти значения функций в точках, которые отличаются от табличных и лежат внутри отрезка (x1, xn) (интерполяция) или вне его (экстраполяция).

23

Раздел V. Интегральное исчисление

и дифференциальные уравнения

Тема 10. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных интегралов. Интегрирование методом разложения, замены перемен3 ной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах [1, § 10.1– 10.5, 10.8], [2, § 10.1–10.3, 10.5] или [3, § 10.1–10.6, 10.9–10.11].

Следует обратить внимание на то, что интегрирование вводится как операция, обратная дифференцированию, но, в отличие от пос леднего, приводит к неоднозначному результату: для любой непре рывной функции f (x) имеется бесконечное множество первообраз ных. Они отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое.

Доказательства основных свойств неопределенного интеграла получены исходя из определения первообразной. Правильность ин тегрирования можно проверить дифференцированием; этот прием следует использовать для проверки решения соответствующих при меров в контрольной работе.

Под непосредственным интегрированием понимают нахожде ние неопределенного интеграла путем преобразования его к таблич ному с помощью основных правил интегрирования и тождествен ных преобразований подынтегральной функции.

Обратите внимание на свойство, связанное с линейным преобра зованием аргумента ([1, формула (10.17)] или [3, формула (10.19)]), так как это простейшее из свойств, которое часто приме няется при непосредственном интегрировании. Используя его, мож но свести к табличным ряд интегралов.

Метод подстановки, или метод замены переменной, – один из ос новных приемов интегрирования функций. Следует обратить вни мание на то, что можно использовать подстановки двух видов:

а) переменная интегрирования x заменяется функцией перемен ной t:

x t , dx t dt;

24

f x dx f t t dt;

б) новая переменная t вводится как функция переменной интег рирования x:

tx , dt x dx;

f x x dx f t dt.

Последнюю подстановку удобно применять, если подынтеграль ное выражение содержит дифференциал (производную) функции ϕ(х) с точностью до постоянного множителя.

Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной x, выразив t через x по формуле, применявшейся при подстановке.

Примеры различных подстановок даны в ([1, § 10.3, 10.6] или [3, § 10.3, 10.6]).

Практическое применение формулы интегрирования по частям ([1, § 10.4] или [3, § 10.4]), если оно целесообразно, связано с пробле мой правильного разбиения подынтегрального выражения на со множители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по час тям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функ ция является произведением многочлена на показательную или ло гарифмическую функцию ([1, примеры 10.10–10.13], [3, примеры 10.8, 10.9]).

Тема 11. Определенный интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Опреде3 ленный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньюто3 на–Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление опреде3 ленного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирова3 ния. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций [1, § 11.1–11.8, 11.10], [2, § 11.1–11.4] или [3, § 11.1–11.8, 11.11–11.14].

25

Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейной трапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится форму ла площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Нью тона–Лейбница ([1, формула (11.15)] или [3, формула (11.15)]) – основной формуле интегрального исчисления – удается свести вы числение этого интеграла к нахождению приращения любой перво образной для данной функции на отрезке интегрирования. Следует обратить внимание на достаточное условие интегрируемости функ ции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя метод подстановки при вычислении определенного интеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введе ния новой переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к ста рой переменной ([1, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3, 11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно находить частное приращение первообразной uvв процессе решения, не от кладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1, пример 11.4] или [3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда один или оба из пределов интегрирования не ограни чены, то есть когда подынтегральная функция определена и непре

рывна на одном из промежутков: а; , ;b или ; . Если

при этом первообразная известна (является элементарной функци ей), то сходимость несобственного интеграла устанавливается по определению. Если первообразная неизвестна (неопределенный интеграл не «берется» в элементарных функциях), то сходимость устанавливается косвенным путем с помощью признаков сходимос ти. Последнее выходит за рамки программы.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что «простейшей» фигурой, площадь которой выражается определенным интегралом, является криволинейная трапеция.

26

Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычис ление площади криволинейной трапеции всегда начинают с пост роения чертежа, при этом следят за тем, чтобы граница фигуры со держала все заданные в условии линии и точки. (Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются площади раз личных плоских фигур) (см. раздел «Задачи для самоподготовки».)

Формула трапеций и другие формулы для приближенного вычисления определенных интегралов используются в том случае, когда соответствующая первообразная не является элементарной функцией («неберущийся» неопределенный интеграл) или когда интеграл представляет собой трансцендентную функцию (для со ставления таблиц значений таких функций).

Тема 12. Дифференциальные уравнения

Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное реше3 ния. Задача Коши. Задача о построении математической модели де3 мографического процесса. Дифференциальные уравнения первого по3 рядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и ли3 нейные) [1, § 12.1, 12.2, 12.4–12.6], [2, § 12.1–12.4] или [3, § 12.1, 12.2, 12.4–12.6, 12.11–12.14].

Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаются уравнения, связывающие искомую функцию одной или нескольких переменных с производными (или дифференциалами) различных порядков и получившие название дифференциальных уравнений. Одна из таких задач о построении простейшей математической мо дели демографического процесса ([1, пример 12.3] или [3, пример 12.3]) рассматривается в данной теме.

Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка

y f x, y , удовлетворяющего начальному условию y x0 y0 ,

всегда имеет решение, и притом единственное. Геометрически это оз начает существование единственной интегральной кривой диффе ренциального уравнения, проходящей через каждую точку открыто

го множества, в которой функция f x, y определена.

27

Студент должен знать основные понятия и уметь решать диффе ренциальные уравнения первого порядка различных типов – непол ные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Раздел VI. Ряды

Тема 13. Числовые ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать). Рас3 ходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходи3 мость [1, § 13.1–13.5], [2, § 13.1–13.3] или [3, 13.1–13.7].

При изучении данной темы студенты знакомятся с новой фор мой изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что

обозначение un , или u1 + u2 + …+ un + …, – символ, который

n 1

не следует смешивать с обычной (конечной) суммой. Сумма и сходи мость ряда определяются через предельный переход. При рассмот рении ряда могут решаться такие задачи, как определение его суммы и исследование сходимости. Решение первой задачи «перекрывает» вторую, но это не всегда возможно или вызывает значительные труд ности. Решение второй задачи не менее важно, так как в случае, если ряд сходится, то его сумма существует и ее можно найти приближен но с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа его первых членов.

Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для схо дящихся рядов un 0 при n ) не является достаточным, но из необходимого признака сходимости следует, что если предел общего

члена lim un 0, то ряд расходится. Поэтому исследование сходимо

n

сти числового ряда рекомендуется начинать с вычисления предела его общего члена (если он находится не очень сложно). Если предел

28

окажется равным нулю, то это означает, что ряд может сходиться. Чтобы установить, сходится ли ряд, далее применяют достаточные признаки сходимости.

Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве «эталонных» следующие ряды:

1) геометрический ряд aqn 1 – сходится при |q| < 1, расходит

n 1

ся при |q| ≥ 1;

расходится при 1.

К признаку сравнения обращаются тогда, когда признак Далам

бера показывает, что lim un 1 1 . Во всех этих случаях применения

n un

достаточных признаков сходимости речь идет об исследовании ря дов с положительными членами.

Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметь в виду два типа сходимости – абсолютную и условную. Важность этих понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды, в отли чие от условно сходящихся, обладают некоторыми свойствами ко нечных сумм. Решать вопрос о сходимости знакочередующегося ряда рекомендуем в таком порядке.

1.Составить ряд из абсолютных величин членов данного знако чередующегося ряда.

2.Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться, что этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притом абсолютно. Задача решена.

Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о сходи мости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя; необ ходимо выполнить пункт 3.

3.Исследовать условную сходимость исходного знакочередую щегося ряда, например, по признаку Лейбница.

29

Тема 14. Степенные ряды

Понятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля (без доказательства). Область, интервал и радиус сходимости сте3 пенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Маклорена для функций ex, ln (1 + x). Биномиальный ряд. Применение рядов в приближенных вы3 числениях: приближенное вычисление значений функций и определен3 ных интегралов [1, § 14.1–14.4], [2, § 14.1–14.3] или [3, § 4.1–14.6].

При изучении этой темы, особенно в случае решения задач, сле дует помнить, что при выводе формулы радиуса сходимости степен ного ряда использовался признак Даламбера, применяемый для ис следования сходимости знакоположительных рядов. Поэтому в фор

(n+1) го членов степенного ряда, определяется предел абсолютной величины отношения этих коэффициентов. В промежутке (–R; R) степенной ряд сходится абсолютно для любых х, а на границах ин тервала сходимости соответствующие числовые ряды могут схо диться, расходиться, сходиться на одном из концов интервала, схо диться при любом действительном значении или только в одной точке х = 0 ([1, примеры 14.2, 14.3а, 14.3б, 14.7] или [3, примеры 14.2, 14.3а, 14.3б, 14.7]).

При решении вопроса о сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости следует использовать признаки сравнения для знакоположительных рядов или признак Лейбница, если ряд знакочередующийся. Признак Даламбера в указанных случаях при менять нецелесообразно, так как всегда будет получаться, что соот ветствующий предел равен единице.

Возможность интегрирования и дифференцирования степенных рядов внутри интервала сходимости используется, например, для сум мирования рядов и разложения некоторых функций в степенной ряд.

Необходимо помнить, что ряд Маклорена, формально записан ный для некоторой функции, может сходиться к этой функции толь ко в некотором промежутке (требуется определить интервал его сходимости), может вообще расходиться или сходиться к другой

30

функции. При решении задач по этой теме можно специально не до казывать, что полученный для данной функции ряд Маклорена в интервале сходимости сходится именно к этой функции.

При решении задач, в которых требуется разложить функцию в степенной ряд, студент должен знать разложения в ряд элементар ных функций ex, ln (1 + x), (1 + x)m ([1, § 14.2] или [3, § 14.2]) и на учиться использовать их для получения разложений в ряд других функций.

Область сходимости рядов Маклорена необходимо учитывать при использовании рядов в приближенных вычислениях значений функций, интегралов и т.п. ([1, § 14.3] или [3, § 14.6]).

Используя ряды в приближенных вычислениях, рассматривают задачи двух видов:

а) при заданной точности результата определить необходимое число членов ряда, обеспечивающих эту точность;

б) вычислив сумму некоторого числа первых членов разложения функции в ряд, указать погрешность результата.

Предложенные в контрольных работах примеры содержат, как правило, знакочередующиеся ряды, поэтому погрешность вычисле ния определяется с помощью следствия из признака Лейбница ([1, § 13.4] или [3, § 13.4]).

Вопросы для самопроверки

1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матри цы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц.

2.Определители 2 го, 3 го и n го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элемен там строки или столбца.

3.Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неосо бенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4.Понятие минора k3го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразова ний. Пример.

5.Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема

оранге матрицы.