матан

11

4. Правило запасной цифры. Для того чтобы после небольшого количества алгебраических действий над приближенными числами получить результат с п верными цифрами, достаточно исходные данные взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточных результатах сохранить (п + 1) верных цифр, а окончательное значе ние округлить до п цифр.

Пример. Дано: π ≈ 3,14159; lg e ≈ 0,434 (все цифры верные). Вы числить приближенно: а) π + lg e; б) π • lg e.

Р е ш е н и е. а) Число π содержит пять верных десятичных зна ков, lg e – три, следовательно, сумма должна содержать три верных десятичных знака. Округляя (с запасной цифрой) число π до четы рех десятичных знаков, получим:

π + lg e ≈ 3,1416 + 0,434 = 3,5756 ≈ 3,576.

Число π содержит шесть верных значащих цифр, lg e– три (нуль не считается), следовательно, произведение должно содержать три верных значащих цифры. Округляя (с запасной цифрой) число π до четырех значащих цифр, получим:

π • lg e = 3,142 • 0,434 = 1,363628 ≈ 1,36.

Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Для этого рекомендуется пользоваться электронными калькуляторами, пакетом Excel и т.п. Всякая вычислительная работа должна контро лироваться. Простейшим методом контроля является выполнение решения заново (лучше спустя некоторое время) и сравнение полу ченных результатов.

Основные правила приближенных вычислений будут нужны и в дальнейшем – при выполнении контрольных работ по теории ве роятностей и математической статистике, экономико математичес ким методам и прикладным моделям и многим специальным дис циплинам.

13

Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее по рядок, уметь выполнять транспонирование матриц и алгебраичес кие операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание и умножение матриц).

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное прави ло умножения и связанное с ним условие существования произведе ния АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, то есть АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА – матрицы разных размеров. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере.

Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой мат рицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чи сел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

Следует уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то опре делитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третье го порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, § 1.3] или [3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свой

14

ствами при вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.

Нужно знать определения присоединенной и обратной матриц и уметь их вычислять. Следует знать, что для существования матри цы А–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матри ца А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА–1 или А–1А. Если оно является единичной матрицей Е, то в соответ ствии с определением матрица А–1 вычислена правильно.

Тема 2. Векторы

Векторы на плоскости и в пространстве (сложение, вычитание, умножение на число). Координаты и длина вектора. n3мерный век3 тор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов. Понятие о векторном (линейном) пространстве и его бази3 се. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Харак3 теристический многочлен матрицы [1, § 3.1–3.3, 3.7], [2, § 3.1, 3.2, 3.4] или [3, § 3.1–3.3, 3.7, 3.10, 3.11, 3.13].

В школьном курсе математики рассматривалось понятие векто ра как направленного отрезка, то есть множества точек, заключен ных между двумя точками прямой, с указанным направлением. Там же определялись операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вводились координаты и понятие длины вектора.

Множества всех плоских и пространственных векторов, для ко торых определены операции сложения и умножения, а также умно жения вектора на число, являются простейшими примерами вектор ных пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дает ся определение векторного пространства.

Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Нужно четко уяснить понятие базиса n мерного пространства, представля ющего собой совокупность его линейно независимых векторов. При этом любой вектор пространства может быть представлен един ственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

15

Особую роль в приложениях математики играют векторы, обла дающие следующим свойством: при умножении квадратных матриц на них образуются новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов матрицы, а соот ветствующие им числа – собственных значений матрицы. Точные определения собственных векторов и значений матрицы приведены в [1, § 3.7] или [3, § 3.7].

Тема 3. Системы линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n перемен3 ными (без доказательства). Решение системы: а) по формулам Кра3 мера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса [1, § 2.1–2.3, 2.6], [2, § 2.1, 2.3] или [3, § 2.1– 2.3, 2.7, 2.8].

При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n пере менными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы, и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопреде ленными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о раз решимости системы n линейных уравнений с n переменными уста навливается с помощью теоремы Крамера ([1, § 2.2], или [3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по срав нению с другими способами решения ряд достоинств: он менее тру доемок, позволяет однозначно установить, является ли данная систе ма определенной, неопределенной или несовместной, а в случае сов местности системы – определить число ее независимых уравнений и исключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса позволяет быстрее, чем классический метод Гаусса, решить систему линейных уравнений.

16

Раздел II. Введение в анализ

Тема 4. Функции

Понятие о множествах. Действительные числа и числовые мно3 жества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотон3 ные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементар3 ной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, прохо3 дящей через данную точку в заданном направлении, через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Точка пересечения двух прямых [1, 4.1–4.3, 4.6, § 5.1–5.5, 5.7], [2, § 4.1, гл. 5] или [3, § 4.2–4.4, 4.9, 5.1–5.5, 5.7].

Прежде всего, полезно ознакомиться с некоторыми логическими символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для сокращения записей ([1, § 5.1, 6.1], или [3, § 5.1, 6.1]).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории мно жеств ([1, § 5.1] или [3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие математического анализа – понятие функции, а также уметь находить область ее определения и знать способы задания функции (аналитический, графический, табличный, словесный).

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функ ции. Студент должен уяснить определение элементарной функции ([1, § 5.5] или [3, § 5.5]), четко знать свойства и строить графики сле дующих основных элементарных функций: y = C (постоянная), y = xn (степенная), y = ax (показательная), y = loga x (логарифмичес кая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значи тельно упростить, если учесть, что графики четных функций сим метричны относительно оси Oy, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является моно тонность, то есть возрастание или убывание на каком либо проме жутке.

17

Тема завершается рассмотрением линейной функции и элемен тов аналитической геометрии на плоскости – простейших уравне ний прямой. Этот материал будет использоваться на третьем курсе при изучении дисциплины «Экономико математические методы и прикладные модели».

Основополагающее значение здесь имеет определение уравне ния линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии

ине удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1.Если задано уравнение линии, то можно установить, принад лежит ли ей какая либо точка плоскости. Для этого достаточно под ставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x

иy. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2.Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для на хождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учеб ный материал приведен в учебнике ([1, § 4.2] или [3, § 4.2]).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, пример 4.5] или [3, пример 4.5]).

Тема 5. Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконеч3 ности и в точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконеч3 но большие величины. Основные теоремы о пределах: теорема един3 ственности, предел суммы, произведения, частного. Признаки суще3 ствования предела. Второй замечательный предел. Число e. Понятие о натуральных логарифмах. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Вычисле3 ние пределов [1, § 6.1–6.8], [2, § 6.1–6.3, 6.5] или [3, § 6.1–6.10].

Наряду с понятием функции, понятия предела и непрерывности являются основными в разделе «Введение в анализ».

18

Понятие предела в учебнике [1] или [3] рассматривается для чис ловой последовательности nlim an и для функции: в бесконечности

тий необходимо использовать их геометрическую интерпретацию. Весьма важными являются понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин ([1, § 6.3, 6.4] или [3, § 6.3, 6.4]), суть которых сво дится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсо лютной величине) будет меньше любого как угодно малого числа ε > 0, а бесконечно большая – больше любого как угодно большого числа М > 0.

Нужно знать взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно боль ших величин, а также свойства бесконечно малых величин, с помо щью которых доказываются теоремы о пределах. Следует обратить внимание на признаки существования пределов, особенно на теоре му 1 ([1, § 6.5] или [3, § 6.5]), часто позволяющую установить нали чие предела значительно проще, чем при использовании его опреде ления.

Необходимо (без вывода) знать второй замечательный предел в двух формах записи:

Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) яв ляется более простым, чем предел, так как оно выражается непре рывностью графика при прохождении данной точки, данного про межутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуи тивным представлением, надо знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций. Следует помнить, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь на границах области определения.

19

Раздел III. Дифференциальное исчисление

Тема 6. Производная

Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее гео3 метрический, механический и экономический смысл. Уравнение каса3 тельной к плоской кривой. Дифференцируемость функции. Связь меж3 ду дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак дифференцируемости). Основные правила и основные форму3 лы дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков [1, § 7.1–7.7], [2, § 7.1–7.3] или [3, § 7.1–7.7, 7.11, 7.12].

Студенты должны знать две классические задачи, которые при водят к понятию производной: об уравнении касательной к кривой и о скорости неравномерного прямолинейного движения. Их решение выявляет геометрический и механический смысл производной. Нуж но знать определение производной, представлять ее экономический смысл ([1, § 7.6] или [3, § 7.10]), уметь составлять уравнение каса тельной к графику любой функции y = f (x) в заданной точке.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходи мым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема не спра ведлива, так как существуют непрерывные функции, которые в не которых точках могут не иметь производной ([1, § 7.2] или [3, § 7.2]).

Нужно, хорошо усвоив основные правила дифференцирования, уметь находить производную суммы и произведения нескольких дифференцируемых функций, производную частного двух функций, пользоваться основными формулами дифференцирования, а также уметь их вывести. Таблица основных формул приведена в учебнике ([1, § 7.5] или [3, § 7.5]) и на переднем форзаце. Наиболее важным для овладения техникой дифференцирования функций, и к тому же наиболее трудным, является правило дифференцирования сложной функции ([1, § 7.4] или [3, § 7.4]). Знание этого правила способству ет успешному освоению техники дифференцирования функций. По этому необходимо обратить особое внимание на примеры с решени

20

ями, в которых иллюстрируется его применение. Нужно усвоить по нятия производных высших порядков и уметь их находить.

Тема 7. Приложения производной

Правило Лопиталя (без вывода). Теоремы Ролля и Лагранжа. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй доста3 точный признак – без доказательства). Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, их нахождение. Исследование функции (область определения, четность и нечетность, интервалы монотон3 ности и точки экстремума, поведение функции при и в точ3 ках разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимпто3 ты, точки пересечения графика с осями координат) и построение ее графика. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c и ее график. Дробно3 линейная функция y = (ax + b)/(cx + d) и ее график [1, § 8.1–8.5, 8.7– 8.9], [2, § 8.1–8.3, 8.5] или [3, § 8.1–8.5, 8.7, 8.8, 8.10–8.12, 8.14].

Одно из простейших приложений производной – раскрытие неопределенностей вида [0/0] или / с помощью правила Ло

питаля ([1, § 8.2] или [3, § 8.2]). Обратите внимание на то, что со гласно формуле (8.3) предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, а не пределу производной частного этих функций.

Теоремы дифференциального исчисления являются обосновани ем такой важной области приложения производных, как исследова ние функций. Студенты должны знать формулировки этих теорем, четко различая в них условие и заключение.

В учебнике приведена схема исследования функции для нахож дения ее характерных точек и выявления особенностей, по которым можно построить ее график ([1, § 8.8] или [3, § 8.8]. Выполнение пунк та 6о этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклости функции и точек перегиба, не обязательно.