Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика _1 семестр 2012 для ПИ1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

425.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

сти α : 4x +5y +3z −16 = 0 .
68. Найдите длину отрезка [ AB], если A = (1;2;2;3;2) , B = (1;0;4;−1;3) .
69. Пусть M – выпуклая оболочка точек	X1 = (0;−2) ,	X2 = (2;−2) ,
X3 = (0;0) . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые
задают множество M .
70. Пусть M – выпуклая оболочка точек	X1 = (−2;6) ,	X2 = (0;6) ,
X3 = (−2;8) , X4 = (0;8) . Найдите ограничения в виде системы нера-
венств, которые задают множество M .
			4	3
71. Найдите вектор Фробениуса неотрицательной матрицы A =			1	2	,
			1	2

вторая координата которого равна 2.

72. Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса неотрицательной

3 6 0

матрицы 0 4 3 .

0 0 5

73. Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:

	x + x ≥ 4				x +3x ≥ 2
		1 2				1	2
а)	x1 +5x2 = 4		;	б)		x1 + x2 = 4		.
а)	x	≥ 0, x ≥ 0	;	б)	x		≥ 0, x ≥ 0	.
	x	≥ 0, x ≥ 0			x		≥ 0, x ≥ 0
	1	2				1	2
	Z =5x1 + x2 + 4 → max				Z = x2 −4x1 + 4 → min

74. Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования:

			3x2 + 2x3 ≥5						6x3 −5x2 ≥5
			x1 − x2 + 2x3 = 2					x1	+7x2 +3x3 = 6
а)			x1 − x2 + 2x3 = 2					x1	+7x2 +3x3 = 6
а)	x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0				;	б)	x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 .
		1	2	3				1	2	3
	Z =5x1 +3x2 + x3 → max						Z =5x1 −5x2 + x3 → min

75. Составьте двойственную задачу для заданной задачи линейного про-

граммирования:
	x −4x +3x ≥8										x + x ≥5
		1	2	3							1	2
а)	x1 + x2 +10x3 ≤3					;		б)			4x1	+ x2	= 4	.
а)		x ≥ 0, x		≤ 0		;		б)		x ≤ 0, x ≥ 0				.
		x ≥ 0, x		≤ 0						x ≤ 0, x ≥ 0
		1	3								1	2
	Z = 2x1 −4x2 + x3 −3 → max								Z =5x1 +5x2 −1 → min
76. По последней симплекс-таблице задачи на максимум
				x1	x2	x3	x4	x5	bi
			x	1	6	0	0	−3	4
			1
			x4	0	4	0	1	15	5
			x	0 −4 1 0 −6 15
			3
				0	15	0
			Z	0	15	0	0 6 −68
определите Zmax		и координаты оптимальной вершины Xmax .
77. По последней симплекс-таблице задачи на минимум
				x1	x2	x3	x4	x5	bi
		x		−13	0	0	6	1	9
			5
		x2		12	1	0	14	0	10
		x		−6 0 1			−9 0 15
			3
				−6 0 0
		Z		−6 0 0			−12 0 −79
определите Zmin		и координаты оптимальной вершины Xmin

78. Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (1;0;1) ,

X2 = (1;5;0) , X3 = (0;5;1) . Найдите для этой задачи минимальное значе-

ние целевой функции Z = 2x + y −2z + 2.

79. Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (5;0;2) ,

X2 = (5;1;0) , X3 = (0;1;2) . Найдите для этой задачи максимальное значе-

ние целевой функции Z =3x + y −2z + 2 .

Задачи для подготовки к экзамену (группа Б)

Разложите векторы aG = (1;13;8)

и a

= (−12;−6;8) по базису, состоя-

щему из векторов cG

= (4;4;−3) , c

= (3;−2;−5) ,

c = (−2;1;1) .

При

каких значениях

параметра a

векторы

m = (a;2a +3;−a − 4) ,

nG = (0;−6;8 − 2a) ,

pG = (−2;−4;4) линейно зависимы? Выразить вектор m

в виде линейной комбинации векторов n и p .

Даны векторы aG = (4;1;−1) ,

b = (3;−1;0) ,

c = (−1;1;1) , d = (−1;3;4) . При

каких

значениях

параметров

α ,

β ,

верно

равенство

= 0 ?

αa

+ βb

+γc + d

Найти

все

значения

параметра

λ, при которых вектор

b = (7;−2;λ − 2) линейно

выражается

через

векторы

a1 = (2;3;5) ,

= (3;7;8) , aG = (1;−6;1) .

nG = (a − 4;1;2) и

При

каких

значениях

параметра

векторы

= (a + 2;4;2) ортогональны?

При каких значениях параметра α векторы a = (α;1;−1) , bG = (1;−3;−5) ,

cG = (−1;1;1)

образуют базис пространства R3 ?

При

каких

значениях

параметра

векторы

a1 = (λ;−5;−1) ,

= (λ;λ;−6) , aG

= (−16;−5;−7) образуют

ортогональный

базис про-

странства R3 ?

aG = (1;−2;3 + m) ,

При

каких

значениях

параметра

m векторы

b = (2;1;−1) , cG = (4;7;5 − m)

компланарны?

Найдите значения параметра m , при которых строки заданной мат-

рицы A линейно зависимы:

−3

− 2

1 −1

−1

−3 10

−1

а)

A =

−1

;

б)

A =

−1

−3

−35

−38

− 2

−1

m 2

10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:

1 −3 3

−1 4

1 −1

−9

;

а)

−1 5

−12

−3 10 −5 −5

− 21

1 −1 − 4 3

б)

3 − 2 −11 2

;

−3 5

15 − 2

−17

1 −1 0

1 0 2

−5

в)

−1 4

7 −3

−18

2 10 27 − 2

−69

11. Найдите значения параметра m , при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее ре-

1		−1	−1 0 x				−6
	2	−7	−15	m	1		−65
	2	−7	−15	m	x2		−65
шение системы:	3	−6	−11	−3 x		=	−52	.
					3
	−1 2		4	2			21
	−1 2		4	2	x4		21

12. При каких значениях параметра a однородная система уравнений

ax1 − 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0

− 2x1 + ax2 − 2x3 − 2x4 = 0 имеет ненулевые решения?

− 2x1 − 2x2 + ax3 − 2x4 = 0− 2x1 − 2x2 − 2x3 + ax4 = 0

13.		При		каких				значениях				параметра a			система				уравнений
(a − 2)x1 +3x2 +3x3 = 3
3x +(a −				2)x		+3x		= −2a имеет единственное решение?
	1			2			3
										2
3x1 +3x2 + (a − 2)x3 = 4a
14.		При				каких					значениях		параметра				λ		матрица
		1		1		2		3
		1	5 −λ2			2		3
		1	5 −λ2			2		3			является невырожденной?
A =		2		3		4		5			является невырожденной?
		2		3		4		5	2
		2		3		1			2
		2		3		1	9 −λ
15.		При			каких			значениях				параметра		λ			ранг		матрицы
		1		1		2		3
		1	5 −λ2			2		3
		1	5 −λ2			2		3
A =		2		3		1		5			равен 4?
		2		3		1		5		2
		2		3		1	14 −			2
		2		3		1	14 −		λ
16.		При			каких			значениях				параметра		λ			ранг		матрицы
		2		2		4		6
		2	3 −λ2			4		6
		2	3 −λ2			4		6
A =		4		6		2		10			равен 3?
		4		6		2		10
		4		6		2	19 −			2
		4		6		2	19 −		λ
17.		Используя					равенство (U −1AU )n =U −1AnU , найдите												матрицу
5 2 −1 x					0		5 2		n
									.
				0
	2 1			0		y	2 1
															1		3	4
															2		2
18. Вычислите степень ортогональной матрицы															2	3	2	.
														−		3	1
														−	2
															2		2

19. Вычислите определитель матрицы

		3	1		−5	− 2			2	0	−13	4	−5
		3	1		−5	− 2			2 −3 − 20 16 −15
			0		4	2			2 −3 − 20 16 −15
	− 2		0		4	2			0	0	2	2	2	;
	а)	1	1		1	0		; б)	0	0	2	2	2	;
		1	1		1	0			0	0	− 2	3	0
		2	− 2 − 4 − 2						0	0	− 2	3	0
		2	− 2 − 4 − 2						0	0	−3	0	−3
									0	0	−3	0	−3
		13	17		4	−1 −3
		14	−11		−17		1	1
		14	−11		−17		1	1
	в)	− 2	3		−1		0	0	.
		−1	−3		2		0	0
		−1	−3		2		0	0
		1	1		−3		0	0
		1	1		−3		0	0
20.		Найдите				определитель					матрицы			X ,	если
−5 0			5		3			− 2 5
	− 4 1		4			4		− 2 −3
	− 4 1		4	X =		4		− 2 −3		.
	−3 −1		− 4						3
	−3 −1		− 4		−3 4				3
21.		Решите			систему			уравнений			по		формулам		Крамера:

(1 −3i)x −(2 +i) y = −7 −7i(2 − 4i)x + (3 −3i) y =14 −16i .

22. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную

форму f (x1, x2 , x3 )=16x1x2 − 40x1x3 − 20x2 x3 +16x12 +3x22 +50x32 .

23.	При	каких			значениях					параметра			a	квадратичная			форма
5x 2	+ x 2	+ (a − 4)x 2 + 4x x − 2x x									− 2x x		является		положительно оп-
1	2			3		1	2		1	3	2	3
ределенной?
24.	При	каких			значениях					параметра			a	квадратичная			форма
− 2x 2 + ax 2 − 2x 2				+8x x		2	+16x		x		является отрицательно определен-
	1	2	3		1	2		2		3
ной?
25. Найдите собственные значения матрицы:
		− 22	−12		− 24								3	12	12
		12	8		12								0	9	6
	а)	12	8		12		;				б)		0	9	6	.
		16	8		18								− 2 −8 −8
		16	8		18								− 2 −8 −8

26. Найдите собственные векторы матрицы C , отвечающие собственному значению λ , если:

	7		−12 6					−8	0	−30
а)		3	−5	3	, λ =3;	б)		−5	2	−15	, λ = 2 .
	C =						C =
		1	− 4	6				5 0		17

27. При каких значениях параметра m матрица		5	8 − m	имеет
27. При каких значениях параметра m матрица	A =			имеет
		2	−3
		2	−3

единственное действительное собственное значение? Найти это значение.

28. При каких значениях параметра m матрица	2	− m	− 4	имеет:
28. При каких значениях параметра m матрица	A =			имеет:
		4	5
		4	5

1) имеет два различных действительных собственных значения; 2) единственное действительное собственное значение; 3) не имеет действительных собственных значений?

			m − 2		−6
29. При каких значениях параметра m ≠ 0 матрица A =
					− m −9
			−3		− m −9
имеет нулевое собственное значение?				eG
30. Найдите координаты вектора в базисе e = (−3;0;0),				eG	= (0;2;0),
			1	2
eG = (0;0;−1),	если (3;3;10 )	–	его координаты в базисе	fG = (− 2;0;0),
3				1
fG2 = (2;3;−1),	f3 = (1;0;2).
31. В пространстве строк		R3	действует линейное преобразование			f
по правилу:	f (a,b,c)= (c, a +5b + c, a). Найдите его собственные векто-

ры, если известно, что оно имеет следующие собственные значения:

λ1 =5, λ2 = −1, λ3 =1.

32. Найдите матрицу перехода от базиса f1 = (1; 2) ,			f2 = (−3; 1) к бази-
су gG = (2;1) , gG	2	= (1; −3) .
1	2
33. Линейное преобразование f пространства R2			задано своей мат-

			1	−3					′	преоб-
рицей A =					в стандартном базисе. Найдите матрицу A					преоб-
			2	1
			2	1
разования		f	в базисе aG			= (2; 1) , a	2	= (1; −3) .
					1		2
34. Квадратичная форма						f задана на пространстве R2 своей матри-
цей		1	3		в стандартном базисе. Найдите матрицу				′	квадра-
цей	A =				в стандартном базисе. Найдите матрицу				A	квадра-
		3	2
		3	2

тичной формы f		в базисе a1 = (2; 1) ,			a2 = (−1; 3) .
35.	Найдите проекцию точки			A(2;3)	на прямую,		содержащую точки
B(4;9) и C(4;−4) .
36. Найдите проекцию точки A(2;4) напрямую l : 3x + 2 y −1 = 0 .
37.	Найдите точку	′				A(2;1)	относительно пря-
		A , симметричную точке
мой l : 6x + 2 y −5 = 0 .
38.	Найдите точку	′				A(1;2)	относительно пря-
		A , симметричную точке
мой, содержащей точки			B(3;6)	и C(2;−3) .
39.	Даны точки A(a;1) ,		B(2;3) ,	C(4;−1) . При каком значении параметра
a	G			вектором медианы			→
	вектор m = (6;−3) является						BB1 треугольника
ABC ?
40.				→		→	= (−16;12) . При ка-
	В треугольнике ABC векторы AC = (5;12) , AB

→

ком значении параметра a вектор AH = (0;−a −3) является вектором высоты треугольника ABC ( H – основание высоты AH принадлежит стороне BC )?

→		→
41. В треугольнике ABC векторы BA = (−5;−12) ,		BC = (9;−24a) . При
→	= (3a;−12)	является вектором
каком значении параметра a вектор BB1

биссектрисы треугольника ABC ( B1 AC )? Проверить, что при най-

→

денном значении параметра a вектор BB1 является вектором биссектрисы треугольника ABC .

42.		При каких значениях параметра α прямые l :	x − 2	=	y −1	и

		1	3		− 4

l2	:αx − 4 y −8 −α = 0 пересекаются под прямым углом?
43.		При каких значениях параметра m прямые l1 : y = 2mx + m +5				и
l2	: 6mx + 2 y −3 = 0 пересекаются под углом 45D ?
44.		При каких значениях параметра a прямые l1 : x + ay +16 +16a = 0 и
l2	: −ax − y +1 − a2 = 0 параллельны, но не совпадают?
45.		Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-

триситет равен 23 , а расстояние между фокусами равно 8 3 .

46. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-

триситет равен 35 , а расстояние между фокусами равно 2 5 .

47. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-

триситет равен 758 , а расстояние между фокусами равно 2 58 .

48. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой рас-

стояние между фокусами равно 8 29 , а асимптоты имеют уравнения

y = ±2 x .
5
49. Найдите проекцию точки	A(3;0;2)	на плоскость
π : 3x − 2 y −3z − 4 = 0 .

50.Найдите точку A′, симметричную точке A(−4;0;1) относительно плоскости π : − 4x − y − 2z −1 = 0 .

51.Найдите точку A′, симметричную точке A(−2;1;3) относительно

прямой

l :

x + 4

y −1

z − 4

− 2

52.

Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану

AM треугольника

ABC

с вершинами

A(2;1;−4) ,

B(−4;3;−16) и

C(8;−5;−24) .

53.

При каких значениях параметра α точка C(−α + 2;−1,4;2,4)

принад-

лежит отрезку [ AB] (или является комбинацией точек A и

B ), если

A(1;−1;2) и B(2;−3;4) ?

54.

При

каких

значениях

параметра

прямые

l :

x −1

= y −1

z −(a − 2)2

и l

пересекаются?

−1

−a

−1

55.

При

каких

значениях

параметра

прямые

l :

x −1

y −1

z −(a − 2)2

и l

: x =

= z

скрещиваются?

− 2a

− 2

− 2a

56.

При

каких

значениях

параметра

прямые

l :

x −1

y −1

z −(a − 2)2

и l

параллельны, но не сов-

−1

−a

−1

падают?

57.

При

каких

значениях

параметра

прямые

l :

x −1

= y −1

z −(a − 2)2

и l

: x =

= z

совпадают?

58.

При

каких

значениях

параметра

пространстве R4

прямая

d :

x1 −5

x3 + 4

x4 −1

ортогональна

гиперплоскости

−3a −15

a − 2 6

−3

Г : 2x1 + (a + 2)x2 + x3 + (a +5)x4 + 4 = 0?

59.

Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой

линейных неравенств:

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015734.08 Кб13Мат_модели.pdf
#
13.03.2015585.29 Кб20матан.pdf
#
27.09.2019163.85 Кб4Матан_Теория_а.docx
#
13.03.2015987.65 Кб110Матанализ_методичка_2семестр2014.doc
#
27.09.2019200.52 Кб3Матанчик Часть А.docx
#
13.03.2015425.29 Кб18Математика _1 семестр 2012 для ПИ1.pdf
#
13.03.20151.24 Mб116Математика облигаций.pdf
#
03.05.20193.12 Mб35Математическая статистика.doc
#
26.05.201589.05 Кб5Материал для практических занятий.docx
#
13.03.2015427.52 Кб8Материал к семинару 2.doc
#
24.03.2016672.26 Кб3Материал к техническому анализу.doc