Математика _1 семестр 2012 для ПИ1

10x

− 4x

≥18

6x1

1

2

+5x2 ≤107

;

4x

−9x

≤ −15

1

2

x

≥ 0, x

≥ 0

1

2

8x1 −3x2 − x3 = 4

4x1 + 6x2 + x4

= 92

.

4x1 −9x2 + x5 = −28

x

≥ 0, x

≥ 0, x ≥ 0, x

4

≥ 0, x

≥ 0

1

2

3

5

ния:

3x +3y ≥18

5x + y ≥35

5x − y ≤ 24

7x − y ≥37

а)

;

б)

;

2x + 4 y ≤ −12

2x −2 y ≤ −10

x ≥ 0, y ≥ 0

x ≥ 0, y ≥ 0

z =3y −2x → min(max)

z = −3x −3y → min(max)

5x + 2 y ≥ 45

8x −5y ≤31

в)

.

3x −7 y ≤ −55

x ≥ 0, y ≥ 0

рования. Принадлежит ли точка X = (2;3;

7

;

5) множеству оптималь-

3

4

64. Задача линейного программирования

6x

−5x

≥ −4

1

2

≤ −13

3x1 −8x2

Z =5x1

+ 4x2

+ 2 → min

3x

+3x

≤ 42

1

2

x

≥ 0, x

2

≥ 0

1

имеет решение Zmin

=15, Xmin = (1;2) . Составьте двойственную задачу и

найдите ее решение, используя теоремы двойственности.

65. Задача линейного программирования

8x −5x

≥9

1

2

5x1 −8x2 ≤ −9

Z = −2x1

−5x2

−2 → max

3x

+3x

≤57

1

2

x

≥ 0, x

≥ 0

1

2

6.

Квадратичная форма f задана на пространстве R2

своей матрицей

1

2

A'

квадратичной

A =

2

1

в стандартном базисе. Найдите матрицу

формы

f

G

в базисе a1 = (1;1) , a2 = (−1;2) .

7.

При каких значениях параметра a точка C(5 + 2a;

11

;6) принадле-

5

жит отрезку [ AB], если A(7;3;6) и B(5;2;6) ?

8.

Докажите, что множество всех решений однородной системы ли-

нейных уравнений образует векторное пространство.

Вариант 2

1.

Найдите размерность пространства решений и фундаментальный

9

−2 14

3

x

0

1

18

−4 28 6

x2

=

0

x3

0

−27 6 −42 −9

x

4

2.

Разложите векторы

a1 = (−6;9;9) ,

a2 = (−4;1;1) по базису, состав-

G

c2 = (1;−4;

−4) , c3 = (−2;3;1) .

ленному из векторов c1 = (1;1;0) ,

3.

Найдите число

Фробениуса и вектор Фробениуса неотрицательной

1

4

0

0

2

3

матрицы A =

.

0

0

3

4.

При каких

значениях параметра

m

столбцы матрицы

1

−2

1

5

1

−1

2

2

A =

линейно зависимы?

−1

0

0

2

4

−6

m

7

триситет равен

65

, а расстояние между фокусами равно 2 65 .

9

линейных ограничений:

9x −6x ≥9

1

2

5x1 +5x2 ≤105

4x

−11x

≤ −21

1

2

x

≥ 0, x

≥ 0

1

2

−9 7

5

6 x1

0

0

5

−7 −9

x

0

2

=

0

0

7

−9

0

x3

−27 21 15 18

x4

0

1

3

1

1

−3

−8

1

3

2. Из системы строк матрицы A =

выделите мак-

7

19

−1

−5

−4

−11

0

2

−1

0

3

2

3

0

−1

−1

−1

0

3. Найдите определитель матрицы

0

1

2

−1

0

.

2

1

−2

3

0

3

0

3

−3

−2

4. Найдите матрицу A−1 методом элементарных преобразований, если

−1

2

−3

3

3

1

A =

.

1

1

−2

5.

При

каких

значениях

параметра

p

квадратичная форма

32x x

−16x x

+ 2 px x

+8x2

+8x2

+ 40x2 является положительно оп-

2

3

1

3

1

2

1

2

3

ределенной?

6.

Найдите точку A', симметричную точке

A(3;6) относительно пря-

мой, содержащей точки B(−2;3) и C(6;1) .

7.

Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой

линейных ограничений:

9x1 −6x2 − x3 = 6

4x1 + 4x2 + x4 = 76

5x1

−10x2 + x5 = −10

x

≥ 0, x

≥ 0, x

≥ 0, x ≥

0, x

≥ 0

1

2

3

4

5

8.

Докажите теорему о связи общих решений неоднородной и одно-

родной систем линейных уравнений.

−2

−3

0

0

3

−1 −1 0

0

1

1

−3

0

X

=

2 0 −2

.

2

−3

0

ния

является пятиугольник с вершинами A1 (0;7), A2 (2;7),

A

5a + 2 ; 7a +10

,

A

3

;12a +9

,

A

(0;9). Найдите все поло-

3

a +1 a +1

4

a +1

5

a +1

5.

Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную

форму

f (x , x , x ) = 48x x

−10x x

−40x x

+ 25x2

+32x2

+17x2 . Вы-

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1

2

3

разите нормальные координаты через исходные.

6.

При

каких

значениях параметра

a прямые

l

:

x

=

y

=

z

и

1

9

9a

9

l2 :

x −9

y −27

z −(a −6)2

=

=

параллельны, но не совпадают?

6a

54

6a

7.

Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-

триситет равен

10

, а расстояние между фокусами равно 2

10 .

3

11

−4

X +5Y =

−30

9

58

−21

5X +

26Y =

−155

47

3. При

каких

значениях параметра

λ

ранг матрицы

4

4

8

12

4

8 −λ

2

8

12

A =

равен 4?

8

12

4

20

8

12

4

29 −λ2

4.

40

6 −m

имеет

При каких значениях параметра m матрица A =

16

−24

5.

При

каких

значениях

параметра

p квадратичная форма

28x x

+56x x

−7x2

−7x2

+ px2

является

отрицательно определен-

1

2

2

3

1

3

2

ной?

6.

Найдите каноническое

уравнение прямой, содержащей медиану

AM треугольника ABC

с

вершинами

A(−2;−5;1) , B(4;−15;4) и

C(−8;25;6) .

7.

Решите графическим способом задачу линейного программирова-

ния:

1

1

0

0 x1

−3

2

3

−3

0

x

−4

2

=

−1

0

−2

3

1

x3

−1

−7 15 −9

x4

3

2.

При каких

значениях

параметра

λ

векторы

G

= (λ;35;7) ,

a1

G

G

= (112;35;49)

образуют ортогональный базис про-

a2 = (λ;λ;42) ,

a3

странства R3 ?

3.

Решите матричное уравнение:

−3 4 1

−6

8 −25

1 3

−3

−12

X =

−2 −17

2 −5

−3

4

−17 19

3

0

0

4. Найдите собственные векторы матрицы

−3

−9

D = −3

, отве-

3

6

12

чающие собственному значению λ =3 .

5.

Линейное преобразование

f

пространства R2 задано своей матри-

1 −1

цей A =

3 1

в стандартном базисе. Найдите матрицу A' преобра-

зования f

G

в базисе a1 = (3;1) , a2 = (1;−1) .

6. Найдите,

при

каких

значениях параметра

a

прямая

d :

x1 −1

=

x2 −3

=

x3 −1

=

x4 +8

в четырехмерном

пространстве

20 + 4a

a −2

32

4

ортогональна

гиперплоскости

8x

−5x

≥3

1

2

≤ −1

5x1 −6x2

Z

= 2x1

+ 4x2

+3 → min

3x

+ x

≤ 27

1

2

x ≥ 0, x

≥ 0

1

2

имеет решение Zmin

=9 ,

Xmin = (1;1) . Составьте двойственную задачу и

2. Дополните

G

= (3;3;1) ,

до ортогонального базиса векторы a1

G

= (−1;3;−6)

и в полученном базисе найдите координаты вектора

a2