Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика _1 семестр 2012 для ПИ1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

425.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

16.Выполнить действия над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, умножение матриц).

17.Сформулировать основные свойства определителей.

18.Вычислить определитель заданной квадратной матрицы.

19.Пользуясь формулами Крамера, решить систему линейных уравнений.

20.Установить, имеет ли однородная система линейных уравнений ненулевые решения.

21.Найти матрицу, обратную заданной.

22.Найти ранг матрицы.

23.Провести действия с комплексными числами.

24.Вычислить степень комплексного числа, используя формулу Муавра.

25.Извлечь корень n -ной степени из комплексного числа.

26.Представить комплексное число в тригонометрической форме.

27.Преобразовать координаты вектора при замене базиса.

28.Найти матрицу данного линейного оператора.

29.Преобразовать матрицу линейного оператора при замене базиса.

30.Проверить продуктивность заданной матрицы.

31.Найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы.

32.Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям матрицы, линейно независимы.

33.Найти собственные векторы линейного преобразования.

34.Найти число и вектор Фробениуса заданной матрицы.

35.Привести квадратичную форму к нормальному виду методом Лагранжа.

36.Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональной заменой координат.

37.Исследовать положительную определенность квадратичной формы.

38.Составить уравнение прямой, заданной в двумерном пространстве.

39.Составить уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве.

40.Найти расстояние от данной точки до заданной прямой.

41.Составить уравнение плоскости, заданной в трехмерном пространстве.

42.Исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей, заданных в трехмерном пространстве.

43.Найти угол между данными прямыми.

44.Найти угол между данными плоскостями.

45.Найти угол между данными прямой и плоскостью.

46.Найти угловые точки выпуклого плоского множества, заданного системой линейных неравенств.

47.Определить с помощью линейных неравенств выпуклую оболочку конечного семейства точек (на плоскости).

48.Определить тип кривой второго порядка по ее уравнению, найти её каноническое уравнение.

49.Найти основные характеристики кривой второго порядка по её каноническому уравнению.

50.Вывести каноническое уравнение эллипса.

51.Вывести каноническое уравнение гиперболы.

52.Вывести каноническое уравнение параболы.

53.Представить задачу линейного программирования в канонической форме.

54.Представить задачу линейного программирования в стандартной форме.

55.Решить графически задачу линейного программирования.

56.Решить задачу линейного программирования симплекс методом.

57.Для заданной задачи линейного программирования составить двойственную задачу.

58.Применить теоремы двойственности для нахождения решения двойственной задачи по найденному решению заданной задачи линейного программирования.

Задачи для подготовки к экзамену (группа А)

Найдите вектор

xG = aG +b −cG,

где

a = (−5;0;2;−3) ,

bG = (2;7;2;0)

cG = (1;2;3;1) .

Найдите вектор

x из уравнения −3a

+ x

+ 4c

= −12a

+15b

− 2c − 2x ,

если aG = (−4;0;2) , bG = (1;5;2) и c = (0;1;3) .

Найдите

длину

вектора

aG +b ,

где

a = (−1;4;−2;−2;1)

bG = (2;3;−1;4;−2) .

Найдите скалярное

произведение

векторов

a = (−4;0;3;−4;0;5)

bG = (5;−4;−3;−4;−3;−4) .

Найдите

косинус

угла между

векторами a = (−4;3;2;−5)

b = (2;−4;3;5) .

Вычислите:

2 +

2 −(aG,b)(b, cG) ,

где a = (−2;0;−3) , bG = (2;−2;0) ,

cG = (2;−2;3) .

7. Вычислите ранг системы векторов: а) a1 = (−2;4;0) , aG2 = (4;−3;0) ,

a3	= (−3;9;−2) ;		б) a1 = (4;2;1) , a2		= (3;4;−5) ,		a3 = (11;8;−3) .
8. Разложите вектор xG = (24;−5) по базису a					= (2;−1) , aG		= (5;1) .
				1		2
9.	Исследуйте		на линейную	зависимость		систему	векторов: а)
a1 = (4;0;0) , a2 = (0;−2;−5) , a3 = (−4;−2;−5) ;					б)	a1 = (3;3;3) , a2 = (5;−1;3) ,
aG3 = (1;−3;−4) .
10.	Найти координаты вектора			x = (2;−2)	в	ортогональном базисе:
aG	= (−1;−2) , a	2	= (2;−1) .
1		2

11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:

5x −3y = −2		4x − y = −2			x + y = 6
5x −3y = −2		4x − y = −2		; в)
а)	4x − y =1	; б)	x −3y =1	; в)	y + z = 6 .
	4x − y =1		x −3y =1
					z + x = 6


12. Решите методом Гаусса систему уравнений	x +9 y +8z		+14w = −4	,
12. Решите методом Гаусса систему уравнений		x +8y +5z −9w = 4		,
		x +8y +5z −9w = 4

выбирая x и y в качестве базисных переменных. В ответе укажите ба-

зисное решение.
13. Решите систему уравнений	5x		+ 6x		+ x		+14x		= −3	, выбирая	x2
13. Решите систему уравнений		1		2		3		4		, выбирая	x2
		3x1 +5x2 + x3 −6x4 = 3

и x3 в качестве базисных переменных. В ответе укажите базисное ре-

шение.

14.	Найдите					фундаментальный	набор	решений	системы
x	+5x		+ 2x		= 0	.
1		3		4		.
x2 + 4x3 + 4x4 = 0

15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:

		8	− 2	9	1		x				0
		8	− 2	9	1			1			0
а)	16		− 4 18		2		x2			=		0		;
а)	16		− 4 18		2					=		0		;
	− 24 6			− 27			x3					0
	− 24 6			− 27	−3							0
							x4
	−6 4			6	7 x						0
		0	6	− 4	−6		1				0
б)		0	6	− 4	−6	x2					0
б)		0	0	4	−6				=		0		.
		0	0	4	−6	x3					0
		−18	12	18	21						0
		−18	12	18	21	x4					0

16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:

1 −1 0			x		−1
− 2	3	− 2			16
			y	=		.
−3	0	7			− 44
			z

		x −3y +3z = 5
17. Решите систему линейных уравнений:
17. Решите систему линейных уравнений:	7 y − 2x −8z = −7
		2x −7 y +9z = 4
		2x −7 y +9z = 4

18. Найдите ранг матрицы:

	−5 13		14	7			0	0	0	7
	0	14	−13	−5			0	0	−13 −6
					;						;
а)	0	0 13		−5		б)	0	7	13 −6

	−10 26 28 14						−6	−7 7		0

		8 −13 5					3								− 2					−8		0 −6
		0	5			13	8											13		52		0	52
		0	5			13	8											13		52		0	52		;
в)		0	15			39	24		;				г)					7		28		0	28		;
		0	15			39	24											7		28		0	28
		0 −5 −13 −8																2		8 0 8
		0 −5 −13 −8																2		8 0 8
		−3 3 5					7		5						0 7 8 1 9
д)		0		0		0 −9 5				;							0 8				6 0 −			2
д)		0		0		0 −9 5				;			е)				0 8				6 0 −			2	.
		−15	15			25	35		25								0 − 4				0	0	81
		−15	15			25	35		25								0 − 4				0	0	81
														2				− 2					2	1		1
19. Найдите матрицу AT −3B , еслиA =														1				− 2		и	B		2	1		1
19. Найдите матрицу AT −3B , еслиA =														1				− 2		и	B	=				.
																							0	0
														1				1					0	0		3
														1				1
							X , если 3A +3B −								1	X =						A		3		−1	1
20. Найдите матрицу															1				0 , где				=					,
20. Найдите матрицу																			0 , где				=					,
														3										−1		−1	0
														3										−1		−1	0
	1	−1		−1
B =						.
	−1 3			0
	−1 3			0
21. Вычислите AB, где:
а) A =		2	3					3	1	;
а) A =						и B =				;
		−6	−	6				1	0
		−6	−	6				1	0
		4	1				−1		−1		−3
б) A =		0	2				−1		−1		−3	;
б) A =		0	2		и B =							;
									− 4
		− 4	4				−3		− 4		−1
		− 4	4

	− 4	− 2	−5				−1		−1		−1
	− 4	− 2	−5		B	=		−1 2			− 2			;
в) A =				и	B	=		−1 2			− 2			;
	−5	−6	2
	−5	−6	2					−1	− 2		−3
								−1	− 2		−3
	1
	2	и B	= (2 1 1);
г) A =	2	и B	= (2 1 1);

	−1
22. Вычислите AB − BA,								−1 2				и B =			−1 −1
22. Вычислите AB − BA,					где A =							и B =										.
																−3				− 2
								4		0						−3				− 2
23. Вычислите матрицу					1		1	4
23. Вычислите матрицу								.

					1	−1
									−1		4									2			−1
24. Вычислите A−1 , если:						а)		A =	−1		4		; б)			A =				4				5
24. Вычислите A−1 , если:						а)		A =					; б)			A =				4				5
											1
									− 2		1									− 2				0
																				− 2				0
											3			2		− 4
25. Вычислите определитель матрицы											5			5		− 2
25. Вычислите определитель матрицы											5			5		− 2	.
											−1			−3		2
											−1			−3		2
				3	0			3	−5							4				0				0
				3	0			3	−5							4				0				0
26. Вычислите:			а)	0	−3			3	1	;				б)		3				−1				0
				0	0		− 2		1							4				4			−3
				0	0			0	3							− 4				1				1
27. Вычислите определитель матрицы A3 ,													если		A =				3		2
27. Вычислите определитель матрицы A3 ,													если		A =								.
																			1		2
																			1		2
28. Вычислите определитель матрицы A−1 , если															A =					3			3
28. Вычислите определитель матрицы A−1 , если															A =									.
																							2
																		−1					2

−3 .

00 .

29. Запишите в тригонометрической форме комплексное число

z = 2i 3 − 2 .

30. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) x3 + 64 = 0 ;

б) x2 −2x + 26 = 0 .

31.Найдите модуль комплексного числа z3 , если z = 33 +−33ii .

32.Найдите модуль комплексного числа z , если:

а) z = u v , u =1 +3i , v = 3 +i ;

б) z =

, u = 2 + 4i , v = 3 +i .

33. Найдите аргумент комплексного числа

z , если:

), v = 3(cos π

+isin π ), w = 5(cos π

а) z =

,u = 2(cos

+i sin

+i sin π );

б)

z = u3 v3 , u = 4(cos π

+isin π ), v = 3(cos

+isin

);

в)

z = u2

, u = 5(cos π

+isin π ),

v = 2(cos

+isin

34.Запишите квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имеет корень 3 + 4i .

35.Найдите собственные значения матрицы:

	−1 −3			;		0 3				4			6	;
а)	−3 −1			;	б)	3 0	;		в)					;
	−3 −1					3 0			− 2			−3
	5	0	0			−3	3 1		3		0			0
	0	0	4	;		0	4 −1	;		4		0		0
г)	0	0	4	;	д)	0	4 −1	;	е)	4		0		0	.
	0	4	0			0 0 − 2				0		− 4 − 2
	0	4	0			0 0 − 2				0		− 4 − 2
36. Найдите собственные значения матрицы C3 , если												C	4		−6
36. Найдите собственные значения матрицы C3 , если												C	=		−5	.
													3		−5

37. Найдите собственные значения матрицы C−1							9	10
37. Найдите собственные значения матрицы C−1						, если C =			.
							−5	−6
							−5	−6
38. В пространстве столбцов R2			действует линейное преобразование f
G	x1	G	2x1 +5x2		. Напишите матрицу A пре-
по правилу: x	=	6 f (x)=	−3x +5x		. Напишите матрицу A пре-
	x		−3x +5x
	2		1	2

G		2
образования f в стандартном базисе и найдите f (y), где y	=		.
		1
		1

39. В пространстве R2 действует линейное преобразование f по правилу: x = (x1; x2 )6 f (x)= (2x1 + 2x2 ;−5x1 + 4x2 ). Напишите матрицу

преобразования						f	в стандартном базисе.
40. В пространстве столбцов												R3 действует линейное преобразование
							G	x						G	x		−	3x
f		по правилу:					G		1					G		1		2
f		по правилу:					x	= x2		6 f				(x)=	x2 − 2x3				. Найдите образ вектора
								x							x		−	2x
									3							3		1
G		0
G		2
a	=	2	.

		−1
41. В пространстве								R3	действует линейное преобразование f													по пра-
вилу: x = (x1; x2 ; x3 )6 f (x)= (x1 − 2x2 ; x2 − 4x3; x3 −3x1 ).																					Найдите образ
вектора aG = (− 2;3;2 ).
42. Линейное преобразование												f		пространства R3						задано в стандартном
										−1				0	2
базисе своей матрицей											0			− 2	0						f (xG)	вектора
базисе своей матрицей									A =		0			− 2	0		. Найдите образ				f (xG)	вектора
											1			1	1
											1			1	1
x = (2;3;−1 ).
43. Вычислите ранг квадратичной формы:
	а) Φ(x , x , x					)= 8x x −12x						2	x +5x 2			+3x 2			− 2x 2 ;
			1	2	3			1	2			2		3	1			2	3
	б) Φ(x , x , x					)= 4x x −8x x + 2x									2 ;
			1	2	3			1	3		1		2	1
	в) Φ(x , x , x					)= 4x x + 6x x +12x x + x 2													+ 4x	2 +9x 2
			1	2	3			1	2		1		3		2	3		1	2	3
	г) Φ(x , x , x					)= 9x 2			−12x x + 4x 2 .
			1	2	3			1			1	3		3

44. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:

4 5			0			4	2	6			1	− 4 6
	5	2	− 2	;		2	1	3	;		− 4	0	0
а)					б)					в)
	0	− 2	−3			6	3	9			6	0	0

45.Выясните, является ли положительно определенной квадратичная

форма f (x1, x2 , x3 )= −16x1x2 −8x1x3 +8x2 x3 +10x12 +10x22 +2x32 .

46.Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма

f (x , x , x )= −6x x +8x x +9x 2 +3x 2												+ 2x 2 .
1		2	3	1			2	1	3	1	2	3
47. Найдите угол A в треугольнике ABC с вершинами
а) A(8;7) ,				B(18;7) , C(16;8						3 + 7) ;	б)	A(9;3) , B(12;3) , C(12;6) ;
в) A(6;4) ,				B(12;4) , C(9					3 + 6;13) ;		г)	A(4;8) , B(8;8) , C(4;15) .
48.		Найдите точку пересечения прямых l : 6(x −13) +3( y +17) = 0 и
m :	x −13		=		y +17	.
m :			=	3		.
		6		3

49.Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку A(10;−9) , в направлении вектора a = (5;1) .

50.Записать общее уравнение прямой на плоскости, которая проходит через точку A(11;−19) имеет нормальный вектор n = (−1;5) .

51.Найдите уравнение прямой, содержащей точку A(9;7) и перпендику-

лярной к прямой, проходящей через точки B(0;3) и C(−7;0) .

52.	Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и
B(7;6) .
53.	Найдите общее уравнение прямой, содержащей точку A(9;8) и па-
раллельной прямой x −9 y +8 = 0 .
54.	Найдите расстояние от точки A до прямой l
а) A(−2;−1) , l : 4x +3y +1 = 0 ;		б)		A(−3;4) , l : 3x − 4 y +35 = 0 .
55.	Найдите эксцентриситет эллипса	x2	+	y2	=1.
		25		9

56. Найдите эксцентриситет гиперболы	x2	−	y2	=1.
	64		36

57.Запишите уравнения асимптот гиперболы 4x2 −9 y2 = 36 .

58.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:

а) 16x2 −98y −32x − 49 y2 −817 = 0 ; б)

50 y −18x +9x2 + 25y2 −191 = 0 ;

в) y2 − 2 y − 4x −7 = 0 .

59.

Две

прямые

заданы

уравнениями

x − 2

y − 2

z − 2

x − 2

y − 2

z − 2

. Найдите косинус угла между ними.

−1

− 2

60.

Найдите

косинус

угла

между

плоскостями x + 2 y + 2z +3 = 0

2x + y + 2z +10 = 0 .

61.

Найдите

расстояние

от

точки

A(1;3;−2)

до

плоскости

α : 2z − 2 y − x +32 = 0 .

62.

Найдите

расстояние

между

параллельными

плоскостями

α : x + 2 y − 2z +8 = 0 и β : x + 2 y − 2z +17 = 0 .

63.

Найдите общее уравнение плоскости, проходящей

через точку

A(5;−2;5)

и перпендикулярной прямой l :

x + 4

z +1

−15

− 4

64.Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку A(2;1;5) и

перпендикулярной вектору n = (−6;2;25) .

65.Найдите общее уравнение плоскости α , которая параллельна плоскости β : x + 6 y + 4z + 4 = 0 и проходит через точку A(4;−5;1) .

66.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки

а)	A(4;5;5) ,	B(5;5;5) , C(4;7;5) ; б) A(1;1;4) , B(1;3;4) , C(1;1;7) ;
в)	A(1;4;3) ,	B(4;4;3) , C(1;4;5) .

67. Найдите точку пересечения прямой l : x −4 2 = y 5−1 = z 3−1 и плоско-

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2015734.08 Кб13Мат_модели.pdf
#
13.03.2015585.29 Кб20матан.pdf
#
27.09.2019163.85 Кб4Матан_Теория_а.docx
#
13.03.2015987.65 Кб110Матанализ_методичка_2семестр2014.doc
#
27.09.2019200.52 Кб3Матанчик Часть А.docx
#
13.03.2015425.29 Кб18Математика _1 семестр 2012 для ПИ1.pdf
#
13.03.20151.24 Mб117Математика облигаций.pdf
#
03.05.20193.12 Mб35Математическая статистика.doc
#
26.05.201589.05 Кб5Материал для практических занятий.docx
#
13.03.2015427.52 Кб8Материал к семинару 2.doc
#
24.03.2016672.26 Кб3Материал к техническому анализу.doc