- •§1. Основы выборочного метода 6
- •§2. Статистическая проверка гипотез 45
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений 70
- •Введение
- •§1. Основы выборочного метода
- •1.1. Понятие о выборочном методе.
- •1.2. Методы группировки экспериментальных данных
- •1.3. Выборочные оценки и ошибки выборки
- •1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам
- •1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака
- •1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки генеральной средней
- •1.7. Оценка генеральной дисперсии
- •1.8. Простая случайная бесповторная выборка
- •1.9. Эмпирическая ковариация
- •1.10. Межгрупповая дисперсия
- •2) Межгрупповая дисперсия:
- •Упражнения
- •1.36. Признак X(к) задан на множестве следующей таблицей:
- •Задания для контрольной работы № 1.
- •§2. Статистическая проверка гипотез
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии
- •2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.
- •2.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях
- •2.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях
- •2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
- •2.7. Критерии согласия
- •2.8. Распределение долей признаков
- •2.9. Сравнение выборочной исправленной дисперсии с заданной дисперсией нормальной генеральной совокупности
- •Упражнения
- •2.10. Задания для контрольной работы № 2
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений
- •3.1. Методические указания к лабораторной работе
- •3.2. Задания для лабораторной работы
- •Приложения
- •Ответы к упражнениям
- •Заключение
2.10. Задания для контрольной работы № 2
1. При формировании портфеля ценных бумаг предварительно были отобраны два вида активов А и В, обладающих оптимальным соотношением доходности и риска. Реализованные доходности этих активов и на протяжении последних 12 месяцев заданы таблицей:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
0,05b |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
-0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
|
0,04b |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
-0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0 |
Найти средние выборочные доходности и , исправленные дисперсии и .
2. Определить, значимы ли различия рисков и активов А и В за указанный период времени по данным задачи 1 при уровне значимости = 0,05.
3. Определить, значимы ли различия средней доходности и активов А и В за указанный период времени по данным задачи 1 при уровне значимости = 0,05.
§ 3. Обработка результатов наблюдений
3.1. Методические указания к лабораторной работе
Постановка задачи
Пусть задана последовательность значений случайной величины (признака) Х, полученных в результате проведения в одних и тех же условиях п взаимно независимых опытов.
Значения случайной величины Х называются выборкой объема п из генеральной совокупности объема N.
Задача обработки результатов наблюдений случайной величины состоит в следующем:
Построение вариационного ряда или ряда распределения и гистограммы для него.
Определение выборочных оценок числовых характеристик случайной величины.
Определение точности выборкиъ
Определение теоретической функции распределения. Выравнивание статистического ряда.
Проверка согласованности теоретического и статистического распределений, используя критерий .
Работа должна быть выполнена на бланке (приложения 4, 5), используя калькулятор и заполнив указанные ниже таблицы.
Результаты достаточно получить с точностью до двух десятичных знаков после запятой. Работу выполнять в следующей последовательности:
1. Построить вариационный (статистический) ряд с длиной интервала и числом интервалов k, указанными в задании.
Отыскав среди значений признака находим . Если соответствует заданному , то и начинаем разбиение на интервалы, а если нет, то уменьшив или увеличив , добиваемся того, чтобы , при этом "вылетевшие" из промежутка значения будем учитывать в соответствующем крайнем интервале. Определим количество значений , приходящихся на каждый i-ый интервал, занося в таблицу Iа "точки" для значений внутри интервала и "зарубки" для значений, находящихся в точности на границе интервала, как показано на примере.
После выполненных подсчетов и проверки заполнить таблицу 3.I (основную).
Таблица 3.I
№ интервала |
1 |
2 |
… |
|
… |
К |
Границы интервала |
|
|
... |
|
… |
|
Середина интервала |
|
|
… |
|
... |
|
Число наблюдений в интервале |
|
|
… |
|
… |
|
Частота в интервале |
|
|
… |
|
... |
|
В таблице 3.1 - границы i-го интервала, -середина i-го интервала, - частота в i-ом интервале.
2. Построить для полученного вариационного ряда гистограмму (см. рис. 3.1).
3. Определить выборочное среднее, дисперсию, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса, используя упрощенные формулы для "ручного" счета.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.1
Обозначим: , где - среднее значение признака в i-ом интервале; с - среднее значение признака в интервале с наибольшей частотой, принятое в качестве "нуля"; - ширина интервала.
занести результаты в таблицу 3.2
с = …; = … . Таблица 3.2
Интервал |
|
|
|
|
|
|
А |
В |
Д |
Е |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.. |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.. |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Выборочная средняя:
Аналогично выводятся остальные расчетные формулы.
Выборочная дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Выборочные центральные моменты 3-го и 4-го порядков:
Коэффициент асимметрии:
Коэффициент эксцесса:
4. Определить точность выборки.
При достаточно большом числе испытаний п можно считать закон распределения нормальным и для оценки точности полученного значения выборочной средней применить формулу:
где - среднее значение признака в генеральной совокупности;
- точность (ошибка) выборки;
- доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что при данном п отклонение от не превзойдет ;
- функция Лапласа (см. Приложение 2).
При заданном значении функции Лапласа по таблицам (приложение 2) найдем аргумент t, а затем из равенства определим точность выборки при доверительной вероятности . Попробуйте по полученным результатам сделать вывод о качестве выборки.
5. Определить теоретическую функцию распределения, ее параметры. Произвести выравнивание статистического ряда.
Пусть выравнивание проводится с помощью нормального закона распределения. Согласно методу моментов параметры выбираются с таким расчетом, чтобы моменты теоретического распределения были равны соответствующим статистическим моментам.
Если , то параметры m и выбираем равными соответственно и . , где Значения находим в приложении 3. Строим на рис. 3.1 (где уже построена гистограмма) график по точкам , где - среднее значение признака в интервале.
6. Проверка согласованности теоретического и статистичского распределений.
Согласованность теоретического и статистического распределений проверяется с помощью критерия (Приложение 3).
,
где
- см. в приложении 2.
Для статистического ряда (табл. 3.1) определим меру расхождения по этой формуле (табл. 3.3).
Вычислив , найдем число "степеней свободы" распределения , где k- число интервалов, а S - число связей, накладываемых на частоты . При гипотезе о нормальном распределении число связей равно 3:
Таблица 3.3
Ин-тер-вал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итого : |
|
(это условие должно выполняться всегда)
.
Число степеней свободы .
Для получения значений и по таблицам (приложение 3) найдем вероятность . Если эта вероятность мала, то гипотеза, состоявшая в том, что данная случайная величина имеет закон распределения , отвергается, как мало правдоподобная. Если же эта вероятность значительна, то гипотеза не отвергается или принимается. (Уровень значимости принять 5%). Сделайте необходимые выводы.
Замечание. При использовании приложения 3 иногда приходится пользоваться формулой линейной интерполяции.
;
Пример: Пусть При
При
.
Сведите все полученные данные в расчетный бланк, который начертите по образцу, данному в приложениях 4 и 5 (лицевая сторона - приложение 4, обратная сторона - приложение 5).