1.9. Эмпирическая ковариация

Пусть и заданы на совокупности .

Cov(X,Y) – ковариация признаков X, Y в генеральной совокупности объема N. Тогда ковариация выборочных средних определяется следующими соотношениями:

- в случае повторной выборки, (1.31)

- в случае бесповторной выборки. (1.32)

Совместное частотное распределение признаков имеет вид

X Y	x1	x2	……	xk
y1	m11	m12	……	m1k
y1	m21	m22	……	m2k
: : :	: : :	: : :	……	: : :
yl	ml1	m l2	……	m lk

где m_ij – частота пары (x_{i ,}y_j).

Эмпирическая ковариация на основе такой таблицы определяется по формуле

. (1.33)

Эмпирический коэффициент корреляции признаков определяется: . (1.34)

Пример 1.24. Совместное частотное распределение признаков

задано таблицей :

X Y	x1 = 2	x2 =3
y1 =2	2	0
y2 =3	3	1

Найти эмпирический коэффициент корреляции

Решение. Находим отдельные частотные распределения признаков

, .

.

;

.

Пример 1.25. Три интегральные кости разных цветов подбрасываются до тех пор, пока не выпадет 18 различных с учетом цвета комбинаций очков.

Пусть S_i – сумма очков на всех 3-х костях в i-ой комбинации, среднее арифметическое всех этих сумм, i = 1, 2,…,18. Найдите математическое ожидание и дисперсию среднего значения

Решение. x_i – число очков на каждой из костей соответственно x₁,x₂ и x₃ – независимы, одинаково распределены и заданы таблицей:

xi	1	2	3	4	5	6
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Комбинации различные, следовательно выборка – бесповторная,

объем её n=18, N=6³= 216.

; ;

;

;

.

Пример 1.26. Признак Х(к) задан на множестве таблицей:

K	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х(к)	1	3	2	1	3	3	1	2	3	3	1	2

Из извлекается случайная повторная выборка объема 7. Найдите математическое ожидание и дисперсию среднего значения признака Х в выборке.

Решение. Генеральная совокупность имеет закон распределения:

Х(к)	1	2	3
р	4/12	3/12	5/12

Ее объем N = 12, объем повторной выборки n = 7 Последоваьельно вычисляем:

.

Пример 1.27. В некотором городе болельщики футбольной команды А составляют 24%, команды В 30%. Известно, что объём бесповторной выборки составляет 14% от числа жителей города. Пусть – выборочная доля болельщиков команды А, – число отобранных болельщиков команды В. Найдите Cov ( , ) (приближенно).

Решение.Пусть

Пусть

Х и Y – несовместные случайные величины. Их законы распределения, а также совместный закон рапсределения представлены в таблицах;

Х	0	1
Р	0,76	0,24

Y	0	1		XY	0
Р	0,7	0,3		Р	1

E(Х) = 0.24; E(Y)= 0,3; E(ХY) = 0;

D(Х)= 0,24 - 0,0576 = 0,1824; D(Y) = 0,3 - 0,009 = 0,21;

n = 0,14N;

cov(Х,Y )= E(ХY) - E(Х) E(Y) = 00,24 0,3 = - 0,072.

.

Отсюда в нашем примере

0,06192.

Пример 1.28. Значения признака Х в генеральной совокупности заданы таблицей частот

Интервал	10 - 14	14 - 18	18 - 22
Частота	5	9	11

Из этой генеральной совокупности производится бесповторная выборка объёма 5. Найдите среднеквадратическую ошибку в приближённом равенстве

Решение. Представим исходные данные в виде такой таблицы

	12	16	20
	5/25	9/25	11/25

Далее по формуле (1.29)

.

Отсюда .