- •2. Понятие обратной функции.
- •4. Определение предела последовательности.
- •6. Определение ограниченной последовательности.
- •21.Теорема о производной сложной функции.
- •22.Теорема о производной обратной функции.
- •23. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
- •51. Окрестность точки в rⁿ.
- •52. Открытые и замкнутые множества.
- •53. Изолированные и предельные точки множества.
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •72. Теорема о равенстве смешанных производных
- •73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •74. Локальные экстремумы функций
- •75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87. Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
- •109. Общее решение однородной системы линейных
79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
Множество S называется ограниченным, если оно содержится внутри круга (для множества на плоскости) или внутри шара (для множества в пространстве), имеющего достаточно большой радиус. Множество называется замкнутым, если оно включает в себя все свои предельные точки.
Важным свойством непрерывных функций является следующее.
Пусть z= f(x,у) — непрерывная функция, a S — замкнутое и ограниченное множество, лежащее в области определения функции f. Тогда в S существуют точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения, множество значений представляет собою отрезок [fнаим,fнаиб].
80. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D. Значение этого предела называется двойным интегралом по области D X
81. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
Если функция f(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном х из [а,b] существует интеграл справедлива формула
82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
В полярных координатах :
83. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D. Значение этого предела называется двойным интегралом по области D
84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
Пусть GсR2 — неограниченное множество, f(x, у) - функция, интегрируемая по всякому подмножеству в G вида G∩D, где D - ограниченное множество с границей нулевой площади. Если для любого допустимого семейства {Dt} предел
существует и не зависит от выбора семейства {Dt}, то данный предел обозначается G и называется несобственным двойным интегралом от f по G.
85. Числовые ряды.
Определение. Пусть дана числовая последовательность а1 ,а2, а3….an . Выражение вида
называют числовым рядом, или просто рядом.
Числа а1 ,а2, а3,….an называют членами ряда, число ап с общим номером п называют общим членом ряда.
Суммы конечного числа первых членов ряда
называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность
86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел ап. Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности
называется числовым рядом, а число ап (n = 1,2,...) — членом ряда. Если член ряда ап представлен в виде функции, натурального аргумента ап= f (п), то его называют общим членом ряда. При этом сумму Sn = а1+ а2 +...+ ап первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последовательность - последовательность частичных сумм S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3, Sn =a1+ a2 +...+an . Если эта последовательность имеет конечный предел S = lim Sn при n->infimity, то числовой ряд называется сходящимся, а число S — суммой ряда. В противном случае ряд называют расходящимся.