13. Критерий диагностики автокорреляции Дарбина-Уотсона.

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина-Уотсона. Статистика DWДарбина-Уотсона (или d-статистика) приводится во всех специальных прикладных компьютерных программах как важнейшая характеристика качества регрессионной модели. Суть критерия состоит в том, что на основе вычисленной статистики DWДарбина-Уотсона делается вывод о наличии автокорреляции.

Где -остатки уравнения регрессии, Т- число наблюдений.

На основании статистики можно сделать следующие выводы:

1. Крайний случай положительной автокорреляции: следовательно , и значит d= 0

2.Крайний случай отрицательной автокорреляции: следовательно , подставляя это выражение вформулу для dполучим

3.Случай отсутствия автокорреляции. Возводя в квадрат выражение в числителе для d, и приравнивая автокорреляционный член к нулю, получим

Таким образом, 0 <d< 4, причем, d< 2, особенно значения близкие к нулю, указывают на положительную автокорреляцию, d> 2, особенно значения близкие к 4, указывают на отрицательную автокорреляцию, а значения, близкие к 2 - на отсутствие автокорреляции.

Практическое использование теста Дарбина-Уотсона.

Первая гипотезапри положительной автокорреляции:

H₀: р = 0 (отсутствия положительной автокорреляции)

H_A: р >0 (наличия положительной автокорреляции).

Вторая гипотеза при отрицательной автокорреляции:

H₀: р=0 (нулевая автокорреляции)

H_A: р<0 (наличия отрицательной автокорреляции).

Критерии проверки гипотез основаны на специальных таблицах Дарбина–Уотсона, в которых по уровню надежности содержаться доверительные границы статистики .

Решающее правило для первой:

Если , то гипотеза H₀отвергается.

Если , то гипотеза H₀не отвергается.

Если , то ситуация остается неопределенной («темная зона»)

Решающее правило для второй:

Если , то гипотеза H₀ отвергается.

Если , то гипотеза H₀ не отвергается.

Если , то ситуация остается неопределенной («темная зона»)

Отметим ограничения при использовании теста Дарбина-Уотсона:

1)Модель должна содержать свободный член .

2)Модель не содержит лаговых (запаздывающих) переменных.

14. Методы устранения автокорреляции

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому для её устранения необходимо, прежде всего, попытаться скорректировать саму модель. Также автокорреляция может быть вызвана отсутствием в модели некоторой важной объясняющей переменной. Необходимо попытаться определить данный фактор и учесть его в уравнении регрессии. Также можно попробовать изменить формулу зависимости. Однако если изменения спецификации модели всё же не помогли, то можно предположить, что автокорреляция обусловлена какими-то внутренними свойствами ряда{e_t}. В этом случае можно воспользоваться авторегрессионным преобразованием. В линейной регрессионной модели либо в моделях, сводящихся к линейной, наиболее целесообразным и простым преобразованием является авторегрессионная схема первого порядка AR(1).

Можно рассмотреть AR(1) на примере парной линейной регрессии:

Наблюдениям tи (t-1) соответствуют формулы:

Пусть случайные отклонения подвержены воздействию AR(1):

, где , е = 2, 3, … , T–случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК, а коэффициент известен.

Если из вычесть умноженное на : .

Обозначив и с учётом , получается .

Так как по предположению коэффициент известен, то вычисляются достаточно просто. Также, исходя их того, что случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК, то оценки будут обладать свойствами наилучших линейных несмещённых оценок.

Однако способ вычисления приводит к потере первого наблюдения. Число степеней свободы уменьшится на единицу, что при больших выборках не так существенно, но при малых выборках может привести к потере эффективности. Это проблема обычно преодолевается с помощью поправки Прайса-Винстена:

,

Авторегрессионное преобразование может быть использовано для уравнения множественной регрессии.

AR(1) может быть обобщено на преобразования более высоких порядков AR(2), AR(3) и т.д.: .

Однако на практике значение коэффициента обычно неизвестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Наиболее употребляемыми являются: 1) определение на основе статистики Дарбина-Уотсана; 2) метод Кохрана-Оркатта; 3) метод Хилдрета-Лу; 4) метод первых разностей.

1) Статистика Дарбина-Уотсана тесно связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями через соотношение:

Исходя из этого, в качестве оценки коэффициента может быть взят коэффициент . Получаем:

Этот метод оценивания используется при большом количестве наблюдений. В этом случае оценка параметра будет достаточно точной.

2) Метод Кохрана-Оркатта является итерационным процессом. Его можно описать на примере парной регрессии и схемы AR(1) .

1. Оценивается по МНК данная регрессия и для неё определяются оценки отклонений , t = 1, 2, … ,n.

2. Используя схему AR(1) оценивается регрессионная зависимость , где – оценка коэффициента .

3. На основе данной оценки строится уравнение:

С его помощью оцениваются коэффициенты и .

4. Значения и подставляются в уравнение данной регрессии. Вновь вычисляются оценки отклонений и процесс возвращается к этапу 2.

Чередование этапов осуществляется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. То есть пока разность между предыдущей и последующей оценками не станет меньше любого наперёд заданного числа.

3) По методу Хилдрета-Лу регрессия оценивается для каждого возможного значения из интервала [-1, 1] с любым шагом. Величина , дающая наименьшую стандартную ошибку регрессии, принимается в качестве оценки коэффициента И значения и оцениваются из данного уравнения регрессии именно с данным значением Этот итерационный метод широко используется в эконометрических пакетах.

4) В случае, когда есть основания считать, что автокорреляция отклонений очень велика, можно использовать метод первых разностей. Для временных рядов характерна положительная автокорреляция остатков. Поэтому при высокой автокорреляции полагают . Следовательно: , где . Обозначив , , получается . Из данного уравнения по МНК оценивается параметр . Коэффициент в данном случае не определяется непосредственно. Однако из МНК известно, что .

В случае , можно получить следующее уравнение регрессии: .

Однако метод первых разностей предполагает уж слишком сильное упрощение ( ), поэтому более предпочтительными являются итерационные методы.