6.Свойства мнк-оценок млр. Теорема Гаусса-Маркова.

Свойства:

1) МНК-оценки вектора параметров МЛР обладают свойством несмещенности: M{ } =

2)Несмещённая оценка дисперсии для случайной переменной ε:

= .

3) Дисперсия МНК-оценок параметров aj имеет вид: , где - диагональный элемент, стоящий на пересечении j-й строки и j-го столбца

4) t-статистики для определения значимости параметров aj имеют вид: Если |t( )|> , где - квантиль распределения Стьюдента с надёжностью γ, то отклоняют гипотезу и делают вывод о существенной значимости параметра .

5) Доверительные интервалы параметров aj имеют вид:

6) Адекватность МЛР проверяется с помощью F-критерия:Если , то гипотезаH₀: a₁ = a₂ = …= a_m = 0неверна.

Теорема Гаусса-Маркова:Фундаментальное свойство МНК: МНК-оценки параметров линейной регрессии обладают наименьшими дисперсиями среди множества всех несмещённых и линейно-зависимых от энд.переменных оценок в рамках модельных предположений П1-П4.

МЛР с линейными ограничениями на параметры:

Y=Xa+ε, Ba=b (ЛОГ), B – заданная матрица полного ранга rank B=k, – заданный вектор размерности k.

Частные случаи ЛОГ:

1) =0, B=(0…010…0), b=0

2)два параметра совпадают = , B=(0…010…-10…0), b=0

3)сумма нескольких параметров равна 1

, q>1, B=(01…10…0), b=0

4)подмножество коэффициентов вектора параметров а равно 0

=0, k=l, B= , b= .

Оценка параметров с учётом ЛОГ:

(МНК) = (b-B ),

C=( , =(

7. Проверка качества множественной линейной регрессии: значимость параметров, доверительные интервалы, адекватность модели. Прогнозирование.

Кроме задачи оценивания параметров представляет интерес задача о значимости параметров:

t( ) = ;

Если |t( )|> , где - квантиль распределения Стьюдента с надёжностью γ, то делают вывод о существенной значимости параметра .

Вторая задача проверки качества модели основана на адекватности (обоснованность выбора принятой в соответствии с моделью регрессии взаимосвязи у и х). Адекватность МЛР проверяется с помощью F-критерия: если , то отвергается гипотеза о неадекватности МЛР( (γ)- квантиль порядка γ закона распределения Фишера).

Доверительные интервалы параметров aj имеют вид:

= + , где K – глубина прогноза в будущем, - планируемое в будущем моменте времени T+K значение факторной переменной. Чем дальше глубина прогноза, тем менее чётким он будет.Доверительный интервал прогноза:

- S < <…

8.Спецификация эконометрической модели: способы и диагностика отбора экзогенных переменных. Тесты Рамсея и Амемья.

Спецификация модели МЛР включает решение 2 задач:

1. Проверка правильного выбора экзогенных переменных.

2. Проверка корректного выбора формы завис между энд и экзперем.

Пропущенные переменные – существенные факторы, которые не были включены в эконометрическую модель по ошибке. Опасность наличия пропущенных переменных заключается в смещении оценок параметров при включенных переменных. Признак, по которому определяют пропущенную переменную: Знак “+” у произведения оценки параметра при подозреваемой пропущенной переменной и коэффициента корреляции этой переменной с другими переменными, включенными в модель.

Избыточная переменная – включена в ЭМ по ошибке. Она оказывает влияние на уменьшение точности (увеличение дисперсии) оценок параметров модели, уменьшение t-статистик и коэффициента детерминации. Возникает проблема мультиколлинеарности.

Правила спецификации ЭМ: определить существенность переменных; осуществить проверку значимого отличия от нуля t-статистик; осуществить проверку, насколько значимо изменяется коэффициент детерминации при добавлении некоторой переменной в модель.

Критерий Рамсея:

1. сначала оценивают зависимость в соответствии с выбранной моделью по МНК

2. Затем анализируют вид функциональной зависимости остатков e( )и ее номинальное приближение включают в модель.

3. Затем вычисляют , , конструируют новую модель:y=a₀+a₁x₁+ a₂x₂+a₃ +..+ε_t

4. сравнивают качество модели по отношению к качеству модели y=a₀+a₁x₁+ a₂x₂+a₃ +..+ε_t с помощью F-критерия: (γ) если F> (γ)- то модель плохо специфицирована.Недостаток: указывает только на наличие ошибочной спецификации, но не выявляет, сколько и какого рода переменных надо добавить в модель.

Критерий Амемья: модель, для которой AF меньше, является лучше специфицированной.AF=