19. Понятие временного ряда(вр). Модель вр, основные задачи анализа вр. Методы сглаживания вр (скользящего среднего, экспоненциального сглаживания, последовательных разностей)

Временной ряд – совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени, т.е. t₂-t₁= t₃-t₂=…=t_n-t_n-1=Δt. Временнойрядобозначаетсяy(Δt), y(2Δt), …, y(nΔt) y₁, y₂,…, y_n(y_T). К этому классу относ модели: тренда , где T(t) – временной тренд параметрического вида; сезонности , S(t) – сезонная компонента, - случайная компонента. Общее у временных рядов то, что они объясняют поведение временного ряда исходя изего пред знач.

Задачи: 1) Сглаживание или выделение тренда по уровням временного ряда. 2) Прогнозирование.

Метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее (m=2k+1). Если индивидуальный разброс значений члена ВР y_tоколо своего среднего значения а характеризуется дисперсией σ², то разброс средней из tчленов ВР (y₁+y₂+…+y_m)/m около того же значения а будет характеризоваться дисперсии σ²/t.

Метод экспоненциального сглаживания вычисляет взвешенную среднеарифметическую соседних уровней со стандартно заданным …

y_t(λ) = , |λ|<=1, т.е веса все время уменьшаются.

Метод последовательных разностей.

Применяется если искомая ф-ия тренда имеет вид полинома:

T_t = c₀+c₁t+…+c_mt^m

Тогда вычисляют абсолютные цепные приросты уровней ряда и сравнивают их по величине.

если , то вывод о линейности ф-и тренда. Если они не равны, то продолжают вычислять абсолютные приросты:

Если они ==, то => вывод о квадратической форме тренда. В противном случае продолжают вычислять конечные разности высших порядков и сравнивать их между собой.

20. Стационарность вр. Характеристики корреляции уровней вр.

Ряд называют строго стационарным (в узком смысле), если совместное распределениеm наблюдений не зависит от сдвига по времени, т.е совпадает с распределением . Слабая стационарность (в широком смысле) состоит в том, что дисперсия и ковариация не зависит от момента времени: .

Значения уровней временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты:- тренд (изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда);- сезонную компоненту ;- циклическую компоненту ;- случайную составляющую .

Анализ временного ряда надо начинать с построения графика исследуемого показателя. По графику можно сделать предположение о наличии тренда и колебаний. Если амплитуда колебаний относительного среднего значения не меняется, то используют аддитивную модель; если же амплитуда возрастает (убывает), то используют мультипликативную модель.

Если присутствие тренда во временном ряду визуально прослеживается нечетко, то проводят статистическую проверку гипотезы о существовании тенденции, например, с помощью метода Фостера-Стюарта:

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, вычисляются вспомогательные характеристики и :

Т.е. , если больше всех предшествующих уровней; , если меньше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляется , .

3) Находится характеристика .

4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется , где – средняя квадратическая ошибка величины D. Расчетное значение критерия сравнивается с критическим значением для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы . Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

При наличии у временного ряда тренда, циклической и сезонной компонент наблюдается корреляция между уровнями временного ряда – автокорреляция. Количественно автокорреляция устанавливается с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями этого ряда и некоторым лагом . Величина лага определяет порядок коэффициента корреляции. Коэффициент автокорреляции k-го порядка вычисляется по формуле:

где , .

С увеличением лага число пар уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным использовать коэффициенты автокорреляции с порядками: .