§ 67. Интегральные оценки и методы

Интегральные оценки(ИО) - это определенные интегралы по времени от переходной ошибки x(t) = _пер(t).Они делятся на линейные и квадратичные.

Линейные ИО имеют вид: , n=0,1,2,…

Отсюда простейшая линейная оценка . (1)

Её геометрический смысл – площадь под графиком переходной ошибки.

Если процесс монотонный, то I₁₀ может служить мерой длительности.

Если процесс колебательный, то площадки с различными знаками частично компенсируют друг друга и I₁₀ не может служить мерой длительности.

+

Оценка I₁₀, как и все другие ИО, может быть вычислена без непосредственного интегрирования, без построения кривой переходного процесса.

Действительно, если сравнить формулу (1) с формулой прямого преобразования Лапласа

,

то получим:

Пример. - площадь под экспонентой. Прочие линейные оценки от простейшей отличаются тем, что, образно говоря, они назначают “больший штраф” за те же значения переходной погрешности, которые имеют место при больших значениях t.

Квадратичные ИО.

Они отличаются тем, что в их подынтегральную функцию входят квадраты переходной ошибки и ее производных до n–го порядка включительно в линейной комбинации друг с другом:

.

В частности, отсюда

и т.д.

Эти оценки применимы как меры качества как для монотонных, так и для колебательных процессов, так как возведение в квадрат делает их положительными.

Каждая из квадратичных оценок имеет свой абсолютный минимум (minmin) при изменении x(t) по закону экстремали. Уравнения этих экстремалей получаются из дифференциальных, которые в свою очередь могут быть найдены из подынтегральной функции ИО.

В частности, для I₂₀ экстремалью является функция, мгновенно скачком изменяющаяся от начального значения до нуля и впредь остающаяся равной нулю.

t

x

x(0)

(I₂₀)_{min min}=0

x(0)

(I₂₁)_{min min}=₁ x²(0)

x

t

˙

x(0)exp(-t/τ₁)

Для оценки I₂₁ экстремалью является экспонента с постоянной времени ₁ (см. рис.).Такой процесс во многих случаях предпочтительнее скачкообразного. Поэтому I₂₁ называется улучшенной оценкой, а I₂₀ простейшей. Такое улучшение процесса можно объяснить тем, что I₂₁ предполагает назначение штрафа не только за большие значения x, но и за скорости изменения x. Вычисление квадратичных оценок может быть выполнено без непосредственного интегрирования по формуле Релея:

,где X^(k)(jω)= (jω)^k•X(jω) - частотный спектр (изображение Фурье) k-той производной переходной ошибки.

Интеграл в формуле Релея табличный при дробно-рациональной подинтегральной функции, он находится по справочным алгебраическим формулам.ИО применяются как при анализе, так и при синтезе. При анализе производится вычисление ИО для заданной системы, затем возможна сравнительная оценка двух систем. Для квадратичных оценок возможен более точный анализ, если определить разность I_2n - I_{2nmin min} .

По этой разности можно найти _n — максимальное по модулю отклонение переходного процесса от экстремали x_э(t) и построить «коридор» (см. рис.), в котором происходит процесс.

П ри параметрическом синтезе ИО, обычно квадратичная, находится как функция варьируемых параметров. Затем она дифференцируется по этим параметрам, и производные приравниваются к нулю. Из этих уравнений и находятся оптимальные значения α_jопт параметров.