§ 65. Косвенные методы анализа качества переходных процессов

Косвенные методы в отличие от прямых не требуют решения характеристического и дифференциального уравнений и построения графика переходного процесса. По результатам применения косвенных методов находятся косвенные оценки, т.е. величины, количественно характеризующие качество переходного процесса. Эти косвенные оценки не связаны однозначными соотношениями с прямыми, что является недостатком метода, который однако компенсируется тем, что косвенные оценки сравнительно просто могут быть выражены как функции варьируемых параметров при параметрическом синтезе системы по заданным или экстремальным значениям косвенных оценок.

Все косвенные методы и оценки делятся на три вида: корневые, интегральные и частотные.

§ 66. Корневые оценки и методы

Корневые оценки характеризуют количественно расположение на комплексной плоскости корней характеристического уравнения системы, передаточная функция которой не имеет нулей.

Построим трапецию, внутри и на границах которой расположены все корни данной системы. Форма и размеры трапеции однозначно определяются тремя корневыми оценками.

j

1 ) Степень устойчивости  представляет собой расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня, взятое по модулю. Степень устойчивости апериодическая, если ближайший корень вещественный, и колебательная, если ближайшими являются два комплексных сопряженных корня.

2)  = tg  — степень колебательности, т.е. отношение модулей мнимой и вещественной частей комплексных корней, для которых это отношение наибольшее.

2.  – расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного корня может быть названо степенью допустимости понижения порядка уравнения, т.к. при ξ ≥10η порядок уравнения

можно понизить на число наиболее удаленных корней.

Степень устойчивости определяет доминирующий корень или пару корней, которые в свою очередь определяют наиболее медленно затухающую составляющую переходного процесса. Если ограничиться учетом только этой составляющей, то можно найти приближенную связь  со временем регулирования t_р:

Показатель  влияет на перерегулирование (_m) и затухание (), но однозначная связь здесь существует только для колебательного звена 2-го порядка (см. рисунок).

σ_m

Для нахождения этих оценок применяются следующие корневые методы:

1. смещенного уравнения;

2. отображения;

3. корневого годографа;

4. модального управления;

Метод смещенного уравнения.

Пусть требуется найти корневую оценку  при заданном характеристическом уравнении a₀sⁿ+a₁s^n-1+...+a_n-1s+a_n=0.

Для этого без решения характеристического уравнения можно прибегнуть к замене переменных

z  s +  , где   0 — вещественная переменная.

В результате подстановки s = z -  в исходное уравнение получим смещенное характеристическое уравнение, коэффициенты которого по известным формулам зависят от :

b₀()zⁿ+b₁()z^n-1+...b_n-1()z+b_n()=0.

Т акое название объясняется тем, что корни смещенного уравнения расположены на комплексной плоскости на  ближе к мнимой оси, чем корни исходного уравнения.Если для смещенного уравнения найти граничное значение _гр, при котором ближайший корень z₁ попадает на мнимую ось, то тем самым будет найдена искомая степень устойчивости. Для нахождения _гр достаточно построить две функции от , если воспользоваться критерием Гурвица.

Метод отображения.

Он позволяет отобразить в пространстве варьируемых параметров область допустимого расположения корней характеристического уравнения. В этом смысле данный метод представляет собой обобщение метода D- разбиения,

который, как известно, отображает левую полуплоскость корней в качестве области устойчивости.

В частности, может быть отображена показанная на рисунке область, для которой η≥η_з, μ≤μ_з.

Суть метода отображения состоит в следующем:

1. В характеристическом уравнении переменная s изменяется по границе допустимой области, для чего в этом уравнении делается соответствующая подстановка и выделяются вещественная и мнимая части.

2. Характеристическое уравнение, а точнее система двух полученных уравнений, решается относительно варьируемых параметров и это решение, представленное в параметрической форме, позволяет построить границу соответствующей области в пространстве варьируемых параметров.

Пример. Построить область, в которой   _з в плоскости коэффициентов X и Y уравнения Вышнеградского. Соответствующая область в плоскости корней показана на рисунке.

j

пл. Z

_з

_з

В характеристическом уравнении z³+Xz²+Yz+1=0 вначале отображаем точку z = -_з, являющуюся границей апериодической степени устойчивости в плоскости корней. Соответствующая подстановка в характеристическое уравнение дает результат:

.

Эта линия является прямой 1 и ее отрезок, пока неизвестный, представляет собой участок искомой границы.

1

2

Делая подстановку z = -_з + j, где -, отображаем вертикальную прямую, как границу колебательной степени устойчивости в плоскости корней z. Затем разделим характе-ристическое уравнение на два уравнения, приравнивая к нулю вещественную и мнимую части.

Совместное решение этих уравнений позволяет найти функции X=X(), Y=Y(), которые в параметрической форме дают уравнение границы 2 колебательной степени устойчивости в плоскости XY. Пересечение этой линии с найденной ранее прямой выделяет искомую заштрихованную область.

Метод корневого годографа.

Корневой годограф – это семейство траекторий движения корней в комплексной плоскости при изменении одного из варьируемых параметров. Построив корневой годограф, можно выбрать значение этого параметра, обеспечивающее заданное значение корневых оценок или желаемое расположение всех корней.

Корневой годограф строится по характеристическому уравнению с использованием ряда правил:

1 ) Находим начальные и конечные точки корневого годографа. Они обычно соответствуют значениям 0 и  варьируемого параметра. Если варьируемым параметром является коэффициент усиления K в характеристическом уравнении D(s)+KQ(s)=0, то при

K=0: D(s)=0 и его корни s₁,s₂,…,s_n, где n – порядок уравнения;

K=∞: , в пределе Q(s)=0, корни s₁’, s₂’,…, s_m’, m<n.

В

s₁₂

частности, если рассматривается статическая система 3-го порядка, то характеристическое уравнение имеет вид: Полином Q(s)=1, т.е. корней не имеет.

Найденные значения s_i наносим на комплексную плоскость.

2) При увеличении параметра от 0 до  m ветвей корневого годографа проходят от некоторых начальных до найденных конечных точек, а остальные (n - m) ветвей уходят на комплексной плоскости в . Установлено, что эти ветви имеют своими асимптотами лучи (n - m) – лучевой симметричной звезды, центр которой располагается на вещественной оси, и его координата может быть найдена по известной формуле через коэффициенты характеристического уравнения. В данном примере все три корня изменяются именно так (см. рис.).

3) Определяем траектории вещественных корней, точки их отрыва от вещественной оси и перехода в комплексную плоскость. Для этого характеристическое уравнение решаем относительно варьируемого параметра:

. В этой формуле переменную s изменяем в пределах вещественных значений и строим соответствующий график зависимости K(s). Изменяем К от 0 до +  и находим соответствующие вещественные корни по точкам пересечения горизонталей К=cosnt с кривой К(s). Особое место занимает точка касания (s₁₂; K₁₂), соответствующая отрыву корней от вещественной оси. Такое построение показывает, что при увеличении К, вопервых, вещественные корни, исходящие из точек s₁и s₂ сближаются и при

К = К₁₂ становятся равными s₁₂. При дальнейшем

увеличении К эти два корня переходят в комплексную плоскость. Во-вторых, веществен-ный корень, исходящий из точки s_3, удаляется в -.

4) Правило построения траекторий комплексных корней основано на известных правилах модулей и

аргументов и сложнее предыдущих. Оно может быть заменено численным методом определения корней характеристического уравнения.

В частности, сравнительно просто можно получить точки пересечения траекторий комплексных корней с мнимой осью. В этом случае система находится на колебательной границе устойчивости, причем по критерию Михайлова можно найти и соответствующие мнимые корни, и граничное значение параметра.

Метод модального управления.

Этот метод позволяет обеспечить желаемое расположение всех корней за счет применения регулятора состояния, реализующего ЖООС по всем переменным состояния.

Допустим, что объект управления описывается векторно-матричным уравнением:

, (1)

в котором управление u — скалярная величина.

Уравнение автоматического регулятора АР:

, (2)

где , .

Подставляя (2) в (1) получаем уравнение свободного движения замкнутой системы, в котором переходим при ННУ к изображениям по Лапласу и переносим все слагаемые в одну часть:

. (3)

Характеристическое уравнение этой системы можно получить, приравняв к нулю определитель матрицы левой части:

det[sI-A+BK^T]=0 . (4)

После раскрытия определителя сравниваем это уравнение с желаемым

sⁿ+a₁s^n-1+...+a_n-1s+a_n=0. (5)

Для тождественного совпадения уравнений (4) и (5) необходимо приравнять коэффициенты уравнений при одинаковых степенях s, что даст n уравнений, из которых можно определить n неизвестных коэффициентов АР.

Как ранее отмечалось, корневые методы не учитывают нулей п.ф., в то время как нули могут сильно повлиять на переходный процесс. Покажем это на примере.

Е сли

Формула и график h₁(t) показывает, что за счет нуля п.ф. скорость нарастания регулируемой величины возросла. Это может вызвать перерегулирование. Поэтому при синтезе корректирующих устройств методом корневого годографа принято учитывать желаемое расположение как полюсов, так и нулей, и в некоторых случаях применять компенсацию нуля полюсом.