§ 60. Прямые методы анализа качества переходных процессов

Эти методы связаны с построением графика переходного процесса и нахождением показателей качества, которые называются также прямыми оценками качества. К прямым методам относятся:

1. аналоговое и цифровое моделирование систем (АМС и ЦМС),

2. аналитические методы расчета (классический и операторный),

3. численные методы расчета,

4. частотные графоаналитические методы построения,

5. экспериментальный метод исследования действующей системы.

Аналитические методы, как известно, требуют решения характеристического уравнения, что ограничивает их применение для систем высокого порядка. Классический метод сложнее операторного, т.к. он требует определения постоянных интегрирования. Примером применения этих методов может служить расчет переходных функций инерционного и квазиинерционнго звеньев в теме №2.

Экспериментальное исследование переходных процессов САР является наиболее достоверным, но, во-первых, оно может быть применено только на заключительной стадии проектирования, а во-вторых, оно не всегда допустимо из-за необходимости внесения дополнительных возмущений в нормальное течение процесса.

§ 61. Аналоговое и цифровое моделирование сар

Как известно, АМС выполняется на АВМ, ЦМС на ЭЦВМ.

Эти два вида моделирования имеют ряд сходств и различий.

Основные различия следующие:

1. АМС сводится к решению дифференциального уравнения непрерывных систем, ЦМС сводится к решению разностных уравнений (уравнения в конечных разностях), которые лишь приближенно соответствуют дифференциальным.

Для перехода от дифференциального уравнения к разностному применяют несколько методов:

1.1 Дискретизация, т.е. замена производных конечными разностями, а определенного интеграла конечной суммой.

,

где Т= период дискретизации (шаг интегрирования);

1.2 Разложение искомого значения в степенной ряд Тейлора по степеням приращения времени

при известном уравнении . Метод Эйлера использует только линейную часть ряда, методы Рунге-Кутта учитывают и нелинейную часть;

1.3 Решение дифференциального уравнения при нулевой, линейной или квадратичной аппроксимации входного воздействия на интервале t и определение из него y[iT] через значения входа и выхода в дискретные моменты времени iT, (i-1)T, (i-2)T.

2) Для решения дифференциального уравнения на АВМ не требуется применения специального метода их решения, так как это происходит в силу физических процессов, протекающих в операционных усилителях (заряд и разряд конденсаторов).

Для ЦМС требуется использование численных методов (Эйлера, Рунге -Кутта, и др.). Численный метод требует перехода от дифференциального уравнения к разностному уравнению и решения разностного уравнения в виде рекуррентной процедуры.

Численные методы, применяемые в ЦМС, делятся на прямые и итеративные. В прямом методе новое значение получается за 1 цикл, в итеративном – за несколько, что зависит от скорости сходимости. При расчете САР итеративные методы иногда требуются потому, что значение рассогласования зависит от значения выходной величины, которое еще не известно.

3. Результат АМС представляет собой непрерывную функцию времени, а результат ЦМС представляет собой решетчатую функцию времени, которая определена в равноотстоящие моменты времени. Решетчатая функция в эти дискретные моменты времени точно совпадает с соответствующей непрерывной функцией аналогового моделирования, если разностное уравнение является парным по отношению к дифференциальному уравнению.

Если частота дискретизации удовлетворяет теореме Котельникова, т.е. превышает частоту пропускания системы не менее чем в 2 раза, то по дискретам решетчатой функции можно восстановить непрерывную в любой момент времени.

4)Для ЦМС обычно не существен масштаб времени, т.к. аргументом решетчатой функции является номер расчетного шага. При АМС постоянные времени можно изменить в раз, где  - машинное время.

Основные сходства АМС и ЦМС следующие:

1. В обоих случаях можно проводить моделирование как в координатах вход-выход, так и в пространстве состояний. В первом случае получается максимальное приближение к реальной системе, но необходимо большое число элементов модели в виде типовых и особых звеньев.

При моделировании в пространстве состояний требуется только 3 вида звеньев: интеграторы, пропорциональные и сумматоры. Но переменные состояния не всегда имеют физический смысл, так что реально наблюдаем только выходную величину, а промежуточные остаются неизвестны.

2. Моделирование можно проводить как по уравнениям, так и по соответствующим структурным схемам.

Примеры.

№1 Для инерционного звена 1-го порядка с заданным уравнением

составить: 1) Схему аналогового модулирования,

2. Уравнение для цифрового моделирования.

С хема аналоговой модели:

Вытекающее из схемы модели уравнение продифферен-цируем по времени:

.

Приводим затем его к стандартному виду:

.

Сравнение с заданным уравнением дает формулы связи параметров звена и его модели .

Разностное уравнение находим методом дискретизации

,

где квадратные скобки указывают на дискретность аргумента.

№ 2 Составить структурную схему моделирования по заданной системе векторно-матричных уравнений в пространстве состояний.

Эта схема пригодна для аналогового моделирования и приближенно для цифрового, если пренебречь отличием интеграла от конечной суммы и непрерывных функций от решетчатых. Двойные стрелки служат для обозначения векторов.