§ 63. Графоаналитический метод расчета переходного процесса по вчх

Непосредственный расчет по формуле (6) возможен лишь в простейших случаях. В более сложных задачах применяют приближенный графоаналитический метод расчета, известный как метод трапеций и метод треугольников. В основе этого метода лежит справочная информация в виде таблиц h - функций. Эти таблицы содержат рассчитанные по формуле (6) переходные характеристики для типовых ВЧХ в виде трапеций или треугольников. Типовая трапеция имеет вид:

P

P(0)=1

ω

_a ₀

_а— частота равномерного пропускания сигнала,

₀— частота пропускания,

_{а /} _{0 =} λ коэффициент наклона, 0  λ  1.

Все рассчитанные и занесенные в таблицу переходные функции при различных λ зависят от безразмерного времени _t.

Порядок расчета по данному методу следующий:

1) Получаем аналитически, графически или экспериментально ВЧХ P() и строим ее в прямоугольных координатах.

2) Производим кусочно-линейную аппроксимацию построенной ВЧХ. Бóльшая точность аппроксимации требуется на низких частотах, а высокочастотный участок с ординатами, не превышающими 0,1∙Р(0), отбрасываем как мало влияющий.

Вблизи экстремумов следует провести горизонтальные отрезки аппроксимации.

3. П роизводится разбивка спрямлен-ной ВЧХ на типовые трапеции P_i(), алгебраическая сумма которых дает аппроксимированную характеристику:

,

где - трапеция defr,

- трапеция abcd,

- трапеция rgmo.

С этой целью горизонтальные участки спрямленной характеристики продолжаются влево до вертикальной оси.

4) Для каждой трапеции определяем частоты пропускания и равномерного пропускания, коэффициент наклона и высоту.

5) Из таблиц h-функций выбираем табличные h_λi(), которые соответствуют коэффициентам наклона, наиболее близким к значениям λ_i, вычисленным для трапеций.

6) В соответствии со свойствами линейности и изменения масштаба находим переходные характеристики для каждой трапеции и для системы в целом:

.

Эти формулы показывают, что ординаты табличных h-функций умножаются на высоту трапеции, а табличное время делится на частоту пропускания, а затем результаты суммируются. Данный метод применим для построения любого переходного процесса, который стремится к постоянному установившемуся значению. Такой расчет производится на основании эквивалентности следующих структурных схем:

ну 1(t) нну

g(t) y(t) y(t)

,

где - слагаемое, зависящее от начальных условий (н.у.).

Затем находим обобщенную ВЧХ P_об()=Re Ф_об(j) и производим расчет у(t) методом трапеций.

§ 64. Чувствительность звеньев и систем

Параметры звеньев и систем в процессе работы могут изменяться под действием внешних условий. Соответствующее изменение статических и динамических характеристик называется чувствительностью звена или системы к указанным изменениям параметров. Количественно это явление применительно к динамическим процессам определяется функциями чувствительности, которые представляют собой частные производные от исследуемой координаты x_i(t) по варьируемым параметрам _j:

Производные вычисляются при номинальных значениях варьируемых параметров, на что указывает индекс 0.

Эта формула дает первый способ нахождения функции чувствительности – путем непосредственного дифференцирования.

Найдя функции чувствительности, можно найти дополнительное движение, как разность между варьируемым и основным процессами:

.

Второй способ нахождения функций чувствительности предполагает составление и решение уравнений чувствительности. Эти уравнения получаются из основных уравнений звена или системы

Для этого дифференцируем по _j левую и правую части каждого из этих уравнений и учитываем, что при нахождении частной производной можно изменить порядок дифференцирования:

.

Правую часть дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции. Получаем следующую систему уравнений чувствительности:

Более прост для практического применения операторный метод нахождения функций чувствительности.

Пусть известна связь изображений X_i(s)=W_i(s,₁,…,_m)G(s) при ННУ. Дифференцируя это равенство по _j, находим изображение функции чувствительности по Лапласу:

Эта формула позволяет найти функцию чувствительности через внешнее воздействие G(s). Если заменить G(s) согласно исходному уравнению, то найдем функцию чувствительности через выходную величину:

где индекс 0 имеет тот же смысл.

По этой формуле можно осуществить аналоговое или цифровое моделирование, пропустив x_i через оператор чувствительности, как показано на рисунке.

Пример. Найти функцию чувствительности переходной функции инерционного звена первого порядка при изменении его постоянной времени.

1. Метод непосредственного дифференцирования

.

Т

2. Метод оператора чувствительности