§ 56. Типовые воздействия и виды установившихся ошибок

При исследовании САР используются следующие типовые воздействия:

1) постоянное (ступенчатое) А_{о =} const, соответствующая ему установившаяся ошибка называется статической

_уст = _ст

2. линейно-изменяющееся воздействие А_о + А₁t, при котором

_уст = _ск (скоростная ошибка);

3) воздействие с постоянным ускорением (второй производной) , при котором _уст = _уск (ошибка по ускорению);

4. полиномиальное воздействие (общий случай).

Это воздействие имеет постоянную производную l-го порядка;

5) Гармоническое воздействие A_msin (t + )

Установившаяся ошибка для воздействий 4 и 5 называется динамической, т.е.

_уст = _дин .

Примеры. Графическое нахождение установившейся и переходной ошибок по задающему воздействию для случая, когда ошибка равна рассогласованию с использованием формул (8) и (9) §2.

1. Статическая САР при ступенчатом воздействии

2. Астатическая система с одним интегратором при линейном воздействии

. ,lkoi98

§ 57. Методы расчета установившихся ошибок

1. Статический расчет по уравнениям статики и статическим характеристикам (см. тему №1).

2. Метод, использующий теорему операционного исчисления о предельном значении функции. Этот метод позволяет рассчитывать любую постоянную установившуюся ошибку по формуле

, где (s) = L{(t)}.

П ример. Найти скоростную ошибку в астатической системе с одним интегрирующим звеном при g(t)=A₀+A₁t.

Считаем, что ошибка равна рассогласованию. По формуле (3’) §2 находим .

Находим изображение по Лапласу входного воздействия, ошибки и подставляем в расчетную формулу :

Δ(s)=G(s)Ф_g(s)

,

т.е. _ск прямо пропорциональна скорости А₁ и обратно пропорциональна К, который в данном случае является добротностью по скорости.

3. Частотный метод расчета динамической ошибки при гармонических воздействиях.

Этот метод опирается на известные определения АЧХ и ФЧХ и их связь с частотной п.ф. Допустим, что задающее воздействие и возмущение изменяются по гармоническому закону:

g(t) = g_m sin (₁t + ₁), v(t) = v_m sin(₂t + ₂).

Тогда _дин (t) = g_mФ_g (j₁) sin(₁t + ₁ + arg Ф_g (j₁)) +

+ v_m Ф_vб (j₂) sin(₂t + ₂ + arg Ф_v (j₂)).

Для практики наибольшее значение имеют амплитуды установившихся ошибок. Найдем эти амплитуды в точном и приближенном выражении для системы, у которой .

По задающему воздействию

П

.

о возмущению

Приближенные формулы справедливы для случая, когда W (j) 1, и показывают, что амплитуды ошибок как по заданию, так и по возмущению прямо пропорциональны амплитудам этих воздействий и обратно пропорциональны АЧХ обратных связей системы по этим воздействиям. Обратной связью для задающего воздействия относительно ошибки является вся разомкнутая система, а для возмущения – только автоматический регулятор АР_.

4. Метод коэффициентов ошибок применяется для расчета динамических ошибок при полиномиальном воздействии.

Расчетная формула этого метода получается из известной формулы для изображений по Лапласу. Выведем эту формулу для задающего воздействия (при возмущающем вывод аналогичен):

G(s) = Ф_g (s) G (s). (1)

В этой формуле разложим п.ф. в степенной ряд в окрестности s = 0, что соответствует t . Такой ряд называют рядом Маклорена:

Ф _g (S) = c₀ + c₁s + c₂s² + ... + c_l s^l+.. (2)

Ряд, в общем случае, бесконечен, но для расчета в нем достаточно взять сумму первых (l + 1) слагаемых, где l — порядок старшей производной входного воздействия. Коэффициенты этого ряда могут быть найдены двояко:

1) по формулам коэффициентов ряда

c₀ = Ф_g (0),

2. Путем деления числителя Ф_g^(s) на знаменатель по известному правилу деления многочленов, причем слагаемые в делимом и делителе необходимо расположить по возрастанию степеней s.

При таком делении первый член делимого, а в дальнейшем некоторого остатка, делится на первый член делителя a_n. Затем перемножается делитель с найденным членом частного и это произведение вычитается из делимого или остатка, и т.д.

-

Подставив найденный ряд (2) в (1), перейдем от изображений к оригиналам, имея ввиду, что умножение на s соответствует дифференцированию оригинала:

.

Коэффициенты в этой формуле носят названия коэффициентов ошибок:

с₀ — коэффициент статической ошибки,

с₁ — коэффициент скоростной ошибки,

с₂ — коэффициент ошибки по ускорению.