Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.

II случай: (случай не нормализуемой системы).

Заметим, что +младшие степени p.

Распишем:

столбцы линейно зависимы. Можно считать после перенумерования, что линейно зависимы первые k столбцов , причем , ; . Сделаем замену неизвестных функций:

– можно дифференцировать раз

– можно дифференцировать раза

…

– можно дифференцировать раза

– можно дифференцировать раз

…

– можно дифференцировать раз.

При такой замене гладкость не изменилась. Обратная замена:

В матричной форме: , где

подставим в систему (1):

Здесь .

Определитель не изменился. Покажем, что порядок системы понизился, то есть . Запишем i-е уравнение новой системы:

,

итак, в новой системе

, то есть порядок системы понижен.

Если полученная система оказалась нормализуемая, то для этой новой системы гладкость решения обоснована, а тогда она обоснована для решения “старой” системы. Если же новая система также не нормализуема, то повторяем для нее предыдущие рассуждения. Получим систему, в которой , а . За конечное число шагов получим нормализуемую систему (если ).

Замечание 1: В общем решении системы (1) произвольных постоянных столько, какова степень при .

Пример:

нет констант.

Замечание 2: Если , то система может иметь бесконечно много решений, а так же может не иметь ни одного решения.

Пример:

если , то может быть любой функцией класса , а . Если , то система не имеет ни одного решения.

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения

(1)

(рассмотрим только однородные системы)

, .

Из алгебры известно, что – матрица , , так же, что имеет жорданову форму:

Сделаем замену неизвестных функций и подставим в систему (1) , . Система распалась на несколько независимых систем (их стало столько, сколько жордановых клеток в матрице B). Будем исследовать одну клетку, например , причем пусть ее порядок равен максимальному порядку всех клеток, отвечающих . Запишем систему для данной клетки:

(2).

Положим и подставим в (2):

(3),

где .

Итак, если матрица T известна, то общее решение системы (1) равно сумме (для всех клеток) выражений типа (3). Обычно матрицу T трудно найти. Для получения общего решения системы (1) используем формулу (3), где – неизвестные n-мерные векторы.

Подставим y из (3) в (1):

(4).

Эта система похожа на систему (2), то есть неизвестных и уравнений так же . В общем решении этой системы свободных неизвестных, где – кратность корня характеристического уравнения . Если число неизвестно, то в системе (4) можно вместо подставить , где – число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению . Если же и неизвестно, то в системе (4) вместо можно взять . При этом число свободных неизвестных не изменится и останется равным . Для построения общего решения системы (1) нужно обозначить эти свободные неизвестные через , затем аналогично рассмотреть остальные корни кратностей и сложить выражения типа (3) для всех корней.