Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.

(1)

(2) – соответствующая однородная система.

Будем предполагать, что матрица и непрерывны на со значениями в С.

def: Система векторов на называется линейно зависимыми на , если существуют такие числа , такие, что .

def: Система векторов-функций на называется линейно независимой на , если из условия на следует, что .

def: Пусть – n - мерный вектор функции на . Выражение:

называется определителем Вронского для векторной функции .

Теорема 1:

Пусть линейно зависимы на , тогда .

Доказательство:

◄ По условию , , столбцы линейно зависимы ►

Замечание: Обратное не верно.

Пример: , тогда и линейно независимы на . Действительно пусть и линейно независимы на , однако на .

Теорема 2:

Пусть – решение системы (2) и существует точка такая, что , тогда линейно зависимы на и следовательно по Теореме 1 на .

Доказательство:

◄ Поскольку , то столбцы линейно зависимы, то есть , , . Положим , тогда – решение системы (2) в силу ее линейности и однородности. Далее по построению заметим, что так же решение системы (2) с теми же начальными условиями. По теореме о единственности решения задачи Коши линейно зависимы на . ►

Следствие: Пусть – решение системы (2) и , тогда .

Доказательство:

◄ Допустим, что это не так, то есть . По Теореме 2 тогда , а это противоречит условию. ►

Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.

def: Линейно независимая система решений системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (2), а матрица

называется фундаментальной матрицей решений (ФМР) системы (2).

Теорема:

ФСР системы (2) существуют. Их бесконечно много. Все они могут быть получены из одной по формуле , где – фиксированная ФМР, а S – матрица , с условием .

Доказательство:

◄ Фиксируем произвольную точку . Пусть B – матрица с условием , тогда по теореме о решения задачи Коши решение системы (2) ( (2)), удовлетворяющее начальным условиям . В этом случае – ФСР, так как , поскольку матриц B с условием бесконечно много, то и ФСР бесконечно много. Пусть теперь – фиксированная ФМР, а – произвольная ФМР системы (2). Положим , тогда

,

то есть – матрица из решений системы (2), причем

= = = .

По теореме о единственности решения задачи Коши (для каждого столбца) получим на ►

Теорема:

Общее решение системы (2) имеет вид (3), где – ФСР системы (2), а – произвольные постоянные (из C).

Доказательство:

◄ ( ) из формулы (3) является решением системы (2) в силу ее линейности и однородности.

( ) Пусть – произвольное решение системы (2), а – ФСР системы (2). Фиксируем точку тогда система относительно :

имеет единственное решение , то есть ее определитель равен . Положим , тогда – решение системы (2) в силу ее линейности и однородности, причем по построению. По теореме о единственности решения задачи Коши на , то есть . ►

Теорема:

Общее решение неоднородной линейной системы (1) имеет вид:

,

где – частное решение системы (1), – ФСР, соответствующая однородной системе (2), а – произвольные постоянные. Это следует из теории линейных пространств и предыдущей теоремы.