Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ОДУ).

Лекции

2 Семестр.

Лектор: Сухинин м. Ф.

Оглавление

Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот. 3

Лемма Арцелы (критерий компактности). 5

Ломаные Эйлера и теорема Пеано. 7

Теорема о единственности решения задачи Коши для систем ОДУ. Следствие для ОДУ n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы. 8

Лемма о равномерной непрерывности. 11

Непрерывность решения системы ОДУ по начальным данным и параметру. 11

Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. 13

Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы. 15

Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства. 16

Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля. 17

Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши. 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы. 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы. 20

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения 21

Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости. 24

Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант. 25

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению. 28

Лемма Адамара. 30

Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру. 30

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов. 33

Существование полной системы первых интегралов 34

Линейные однородные УрЧП первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы ОДУ. Замечание о квазилинейных уравнениях. 35

Квазилинейные УрЧП первого порядка. Две леммы о характеристиках. 38

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧП первого порядка в случае пространственных переменных. 40

Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении. 43

Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства. 44

Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.

Системой ОДУ называется система вида:

(1)

где . Пусть и якобиан , тогда по теореме о неявной функции можно выразить через остальные переменные то есть

(2).

Система (2) называется канонической, число называется порядком системы (2). Вектор – функция называется решением системы (1) или (2), если при подстановке этой вектор – функции в систему (1) или (2) получаем тождество.

Вектор – функция называется общим решением уравнений (1) или (2) в области или , если каждое решение системы (1) или (2), график которого лежит в G, может быть представлена в виде: при некотором наборе констант Система вида:

(3)

где , называется нормальной. Произвольная каноническая система (2) может быть сведена к нормальной с помощью введения новых неизвестных функций.

Введем новые неизвестные функции:

(4)

Тогда (2) сводится к виду: (5)

Системы (2) и (5) эквивалентны, система (5) нормальная. Порядки систем (2) и (5) одинаковы и равны , поэтому в дальнейшем в основном будем исследовать только нормальные системы (то есть вида (3)). Иногда нормальная система может быть сведена к одному ОДУ n-го порядка. Пусть дана система (3):

(3)

Продифференцируем первое уравнение из (3) один раз, два раза, … раз (если это возможно):

(6).

Допустим, что в рассматриваемой области, тогда по теореме о неявной функции можно выразить через остальные переменные, то есть

.

Подставим эти соотношения в последнее уравнение из (6), получим - ОДУ n-го порядка. Такое сведение не всегда возможно.

Пример:

, здесь