Лемма Арцелы (критерий компактности).

def: Семейство , функций называется равномерно ограниченными, если . Здесь и в дальнейшем .

def: Семейство , функций называется равномерно непрерывными, если

Пример 1:

Пусть даны числа и положим - множество тех функций (условие Гёльдера порядка ), тогда равностепенное, непрерывное семейство. Фиксируем , из этого следует, что можно взять любое . Однако, не является равномерно ограниченной, так как содержит все константы.

Пример 2:

Возьмем тогда − равномерно ограничено . Покажем, что семейство не является равностепенно непрерывным, то есть выполнено его отрицание . Положим . Пусть - произвольное малое число. Выберем , тогда больше периода функции , из этого следует, что на любом интервале длины существуют точки и для которых , а . В этом случае , следовательно не является равностепенно непрерывным.

Лемма Арцелы (Arzela – итал.)

Пусть - равномерно ограниченное и равномерно непрерывное семейство функций , тогда из каждой последовательности можно выделить последовательность равномерно сходящейся к непрерывной функции ( может не принадлежать семейству ).

Пример:

тогда , но

Доказательство

◄ Пусть ,… – все рациональные точки на . Поскольку - ограниченное множество в (в силу равномерной ограниченности ), то существует подпоследовательность последовательности такая, что фундаментальна в (по теореме Больцано – Вейерштрассе). Поскольку ограничена в то существует подпоследовательность последовательности такая, что фундаментальна в . Поскольку ограничена в то существует подпоследовательность последовательности такая, что фундаментальна в и так далее. Получим семейство последовательностей:

Выберем диагональную подпоследовательность (метод Кантора). Покажем, что искомая подпоследовательность. Докажем, что равномерно фундаментальна на , то есть . В силу равностепенной непрерывности семейства . Разобьем на равные отрезки длины меньше . Тогда : в каждом отрезке этого разбиения есть хотя бы одна точка из (пусть отрезок разбит на M частей; для каждой части выбирают и выбираем ). В силу плотности рациональных чисел на . Заметим что – фундаментальна в так как - подпоследовательность последовательности , начиная с .

Далее, , .

Покажем, что это N – искомое .

Пусть , , тогда х принадлежит некоторому отрезку разбиения. В этом отрезке есть хотя бы одна из точек , например ( и могут быть на концах отрезка разбиения). Заметим .

Имеем

( ).

Итак, равномерно фундаментальна на . Поэтому при каждом фиксированном последовательность - фундаментальна в и следовательно по критерию Коши сходится в к некоторому элементу . Устремим в ( ) m к . Получим, что : . Это означает, что сходится равномерно к на . Поскольку – непрерывна на , то по теореме из анализа так же непрерывна на . Лемма доказана ►