- •2 Семестр.
- •Лектор: Сухинин м. Ф.
- •Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- •Лемма Арцелы (критерий компактности).
- •Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- •Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- •Лемма о равномерной непрерывности.
- •Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- •Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- •Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- •Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- •Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- •Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- •Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- •Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- •Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- •Лемма Адамара.
- •Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- •Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- •Существование полной системы первых интегралов
- •Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- •Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- •Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- •По условию 4),
- •Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- •Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.
Лемма о равномерной непрерывности.
def: Метрическое пространство называется компактом, если из каждого покрытия его открытыми множествами (открытое покрытие) можно выделить конечное подпокрытие.
Лемма:
Пусть – метрические пространства, – метрический компакт, а – непрерывно на всем , тогда – непрерывно по и эта непрерывность равномерна по , то есть и , что , выполняется неравенство (то есть не зависит от k).
Доказательство:
◄ Выберем произвольно и . Надо найти . В силу непрерывности в точке имеем . Используя аксиому выбора можно считать, что задана функция на всем К. Заметим: , где – открытый шар в К, с центром в точке k, радиуса . В силу компактности К, имеем : . Положим , тогда , покажем, что это – искомое.
Пусть , , , тогда , , то есть . Имеем:
+ .
Так как:
– для первого слагаемого,
– для второго слагаемого. ►
Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
Теорема:
Пусть – метрическое пространство, – открытое множество в , функция – непрерывна на , ограничена , удовлетворяет условию Липшица по у. Далее: пусть – решение задачи Коши: , при , и , определенное на . Тогда , что = ! решение задачи (1), (2), определенное на всем , причем – непрерывно по , и эта непрерывность равномерна по , то есть , , ,
Доказательство:
◄ 1) , , , .
Допустим, что это не так. Тогда , , , точка , .
По теореме Больцано-Вейерштрассе: . Заметим, что
,
так как непрерывна в точке . В этом случае , так как , определена по условию на всем , то есть и точку можно считать аргументом (то есть можно подставлять в уравнение (1)).
Поскольку определено на , то его можно подставить в (1) – имеет смысл . В силу открытости D, точка , при достаточно больших k, а это противоречит выбору точек .
2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
Пусть , тогда точка в силу 2) и существует единственное решение задачи Коши (1), (2), определенное в окрестности точки h. Заметим так же, что определена в окрестности точки h (поскольку , D – открыто и – непрерывна в точке h).
Сделаем оценки:
= + , =
и вычитаем из одного другое:
+ + + + + +
(заметим, что определено при всех и ); непрерывна по , ; по лемме о равномерной непрерывности: при равномерно по , а тогда при )
(По замечанию к лемме Гронуолла)
(не зависит от x и при достаточно малых ).
Продолжим вплоть до границы трубки
В силу график продолженного решения выйдет на границу только при и .
Из первой части следует, что непрерывно по в точке , равномерно по . Проводя для те же рассуждения, что и для , получим, что непрерывно по , равномерно по в окрестности точки , а не только в самой точке . ►