- •II семестр
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Линейные пространства.
- •Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.
- •Подпространство линейного пространства
- •Ядро, образ, ранг, дефект.
- •Операторы простой структуры
- •Координаты вектора в ортонормированном базисе
- •Матрица Грама
- •Ортогональное дополнение к подпространству
- •Ортогональные операторы
- •Самосопряжённые операторы
- •Квадратичная форма
- •Канонический вид квадратичной формы
- •Знакопостоянные квадратичные формы
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Самосопряжённые операторы
Линейный оператор B называется сопряжённым к оператору , если для . Обозначение: .
.
.
.
.
.
Линейный оператор называется самосопряжённым, если .
Теорема о матрице сопряжённого оператора: Если A – матрица оператора C в ортонормированном базисе, то – матрица оператора в том же базисе.
Пусть – матрица оператора C и – матрица оператора в ортонормированном базисе . Из определения сопряжённого оператора следует, что . Тогда и для .
Матрица самосопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе симметричная.
Собственные векторы самосопряжённого оператора, отвечающие различным собственным числам ортогональны.
Пусть – собственные числа и и – отвечающие им собственные векторы самосопряжённого оператора A. Тогда . При этом , а .
Если A – самосопряжённый оператор, то в существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора A.
Квадратичные формы
Линейные формы
Говорят, что в задана линейная форма (линейный функционал) , если каждому из поставлено в соответствие число так, что выполняются два условия:
для из .
для из .
Если – линейная форма в , то существуют числа , где – координаты для в фиксированном базисе.
Пусть в выбран базис . Тогда может быть представлен в виде и , где .
Если в задан ортонормированный базис, то любую линейную форму модно представить в виде , где .
Билинейные формы
Говорят, что в задана билинейная форма , если каждой паре векторов и поставлено в соответствие число :
– линейная форма, зависящая от при фиксированном .
– линейная форма, зависящая от при фиксированном .
Теорема о матрице билинейной формы: Если в задана билинейная форма , то существуют числа , где , где – координаты – координаты в фиксированном базисе.
Из условия теоремы следует, что , где – фиксированный базис. Тогда .
Матрица называется матрицей билинейной формы.
Ранг матрицы билинейной формы называют рангом билинейной формы.
Билинейную форму модно записать в виде , где .
Теорема о связи матриц билинейной формы в разных базисах: Если – матрица билинейной формы в базисе , а – матрица билинейной формы в базисе , то , где C – матрица перехода от базиса к базису .
Пусть в базисе в базисе . Тогда билинейная форма . Кроме того, .
Билинейная форма называется симметричной, если .
Матрица симметричной билинейной формы симметрична (т.к. ).
Квадратичная форма
Говорят, что в задана квадратичная форма , если каждому из поставлено в соответствие число , где – симметричная билинейная форма.
Симметричная билинейная форма, по которой построена квадратичная форма, называется полярной билинейной формой по отношению к квадратичной форме.
По заданной квадратичной форме можно восстановить полярную билинейную к ней форму.
Пусть – квадратичная форма. Тогда , откуда .
Матрица билинейной формы, полярной по отношению к данной квадратичной форме, называется матрицей квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы в любом базисе симметрична.
Пусть A – матрица квадратичной формы в базисе . Тогда и , где f – билинейная форма, полярная данной квадратичной.
Пусть – матрица квадратичной формы в базисе . Тогда , где C – матрица перехода из базиса в базис .