- •II семестр
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Линейные пространства.
- •Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.
- •Подпространство линейного пространства
- •Ядро, образ, ранг, дефект.
- •Операторы простой структуры
- •Координаты вектора в ортонормированном базисе
- •Матрица Грама
- •Ортогональное дополнение к подпространству
- •Ортогональные операторы
- •Самосопряжённые операторы
- •Квадратичная форма
- •Канонический вид квадратичной формы
- •Знакопостоянные квадратичные формы
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Подпространство линейного пространства
Подпространством линейного пространства является часть пространства, которая сама является линейным пространством.
Второе определение: Подпространством линейного пространства является часть пространства, которая замкнута относительно операций, введённых в линейном пространстве.
Любое подпространство содержит нулевой элемент.
Линейной оболочкой векторов называют множество линейных комбинаций этих векторов. Обозначение линейной оболочки векторов .
Линейная оболочка является подпространством.
Пусть – линейная оболочка векторов и пусть , т.е. . Тогда , – подпространство.
Если – линейная комбинация , то .
Введём обозначения: . Пусть . Тогда . Т.к. является линейной комбинацией , то . Пусть теперь . Тогда и, следовательно, .
Максимальное число линейно независимых векторов системы называется рангом системы.
Размерность линейной оболочки векторов равна рангу системы этих векторов.
Пересечение и сумма подпространств.
Пересечением подпространств и называют множество векторов, принадлежащих и , и . Обозначение: .
Суммой подпространств и называют множество векторов вида , где . Обозначение: .
Сумма и пересечение подпространств являются пространствами.
Пусть . Тогда и , следовательно, и . Оставшаяся часть теоремы доказывается аналогично.
Теорема о связи размерностей пересечения и суммы подпространств: .
Прямая сумма подпространств
Сумма подпространств и называется прямой, если .
Теорема: , т.к. .
Любой элемент из может быть единственным образом представлен в виде , где .
Пусть , где и , где . Тогда . Но , а , и так как эти элементы можно сравнить, то и , следовательно, , что противоречит условию.
Линейные операторы
Оператор – это правило, по которому элементам одного линейного пространства ставятся в соответствие элементы другого или того же линейного пространства.
Оператор A называется линейным, если:
или .
Матрица линейного оператора:
Пусть дан линейный оператор (преобразует элемент n-мерного пространства в элемент n-мерного пространства).
Выберем в базис .
Подействуем на базисные векторы оператором .
Разложим образы векторов по данному базису: .
Запишем координаты образов базисных векторов в виде столбцов матрицы: . Это и есть матрицы оператора A.
I теорема о матрице линейного оператора: Пусть под действием оператора A переходит в . Тогда , где A – матрица оператора A в том же базисе, в котором заданы координаты и .
Пусть – базис, в котором заданы и A. Тогда . Подействуем на оператором A. В результате будет: .
Мы показали, что каждому линейному оператору в данном базисе соответствует матрица и можно показать, что она единственная. Также можно показать, что каждой матрице соответствует единственный линейный оператор.
II теорема о матрице линейного оператора: Пусть оператор в базисе имеет матрицу A, а базисе - матрицу . Тогда , где T – матрица перехода из базиса к базису .
Пусть в базисе имеет координаты , а в базисе , а – в , а в . Тогда , откуда . Следовательно, .