Координаты вектора в ортонормированном базисе

Пусть – ортонормированный базис в и – координаты в базисе . Тогда .

Т.к. , то .

Если – координаты – координаты в ортонормированном базисе, то .

Пусть – ортонормированный базис. Тогда .

В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть в выбран базис . Тогда при можно в качестве ортонормированного базиса взять . Если же , то . Число можно найти из условия: , т.е. , . Предположим теперь, что построен ортогональный базис . В качестве возьмём вектор . Умножив обе части на , получим: После этого надо пронормировать .

Матрица Грама

Матрицей Грама векторов называют матрицу вида . Обозначение: .

Если система векторов линейно независима, то матрица Грама этой системы невырожденная.

Пусть – линейно независимая система векторов и пусть ( – числа). Умножив это равенство на , получим однородную систему: . Матрица этой системы представляет собой матрицу Грама векторов . Т.к. эта система имеет одно решение , то определитель этой системы отличен от нуля, следовательно, матрица её (матрица Грама) невырожденная.

Если система векторов линейно зависима, то матрица Грама этой системы вырожденная.

1. Матрица Грама симметрична.

2. Если ортогональны, то диагональная.

3. Если ортонормированны, то единичная.

Пусть – координаты – координаты в базисе . Тогда .

Ортогональное дополнение к подпространству

ортогонален подпространству L, если для будет .

, где – базис подпространства L.

Множество векторов, ортогональных данному подпространству называют ортогональным дополнением этого подпространства. Обозначение: .

Ортогональное дополнение само является подпространством.

Теорема об ортогональном разложении евклидова пространства: Пусть L – подпространство. Тогда .

Пусть и пусть – ортонормированный базис в L. Построим , где . Пусть . Тогда . Пусть теперь . Тогда и .

называют ортогональной проекцией на подпространство L.

называют ортогональной составляющей относительно подпространства L.

Углом между и подпространством L называют угол между векторами и .

Расстоянием от до подпространства L называют .

Ортогональные операторы

Оператор называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т.е. для .

Свойства ортогонального оператора:

1. Для того чтобы линейный оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял нормы векторов, т.е. для (A – оператор).

1. Пусть для . Тогда . При этом , а . Таким образом, . Следовательно, для – ортогональный оператор.

2. Пусть A – ортогональный оператор. Тогда .

1. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Пусть и . Тогда .

3. Ортогональный оператор невырожденный.

Пусть (A – ортогональный оператор). Тогда . В то же время . Т.к. это верно для , то A – невырожденный оператор.

4. Если  – собственное число ортогонального оператора, то .

Пусть – собственный вектор, отвечающий собственному числу . Тогда .

5. Собственные векторы ортогонального оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

Пусть и – собственные векторы ортогонального оператора A, отвечающие и . Тогда .

Матрица называется ортогональной, если её столбцы образуют ортонормированную систему векторов, т.е. , а для .

Теорема об ортогональных матрицах: Матрица A является ортогональной тогда и только тогда, когда .

1. Пусть A – ортогональная матрица: . Тогда .

2. Пусть . Тогда из предыдущего следует, что A – ортогональная матрица.

В ортогональной матрице ортонормированную систему векторов образуют также и строки.

6. Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе является ортогональной.

Пусть – ортонормированный базис в . Тогда – тоже ортонормированная система. Следовательно, матрица оператора A в базисе равна и является ортогональной.