- •II семестр
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Линейные пространства.
- •Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.
- •Подпространство линейного пространства
- •Ядро, образ, ранг, дефект.
- •Операторы простой структуры
- •Координаты вектора в ортонормированном базисе
- •Матрица Грама
- •Ортогональное дополнение к подпространству
- •Ортогональные операторы
- •Самосопряжённые операторы
- •Квадратичная форма
- •Канонический вид квадратичной формы
- •Знакопостоянные квадратичные формы
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Линейные пространства.
Линейным пространством называется множество L элементов любой природы, если для элементов этого множества выполняются одно условие и восемь аксиом:
Условие: для и определена операция сложения, т.е. задано правило, по которому любым и ставится в соответствие элемент , где символ «+» – только обозначение, и для и любого числа определена операция умножения , т.е. задано правило, по которому каждому и ставится в соответствие элемент .
Аксиомы:
для .
для .
Во множестве L (нулевой (нейтральный) элемент): для .
Для (противоположный элемент): .
для .
для и - числа.
для и и любого числа .
для , и - числа.
Если данное множество является линейным пространством, то его элементы называются векторами.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.
Система векторов называется линейно независимой, если хотя бы один из этих векторов можно выразить через остальные, т.е. .
Необходимо и достаточное условие линейной зависимости: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , не все равные 0 и такие, что .
Пусть система линейно зависима. Тогда , причём .
Пусть , не все равны 0 и такие, что . Пусть для определённости . Тогда , следовательно, система линейно независима.
Если среди содержится , то система векторов линейно зависима.
Если среди k векторов имеется m линейно зависимых , то и вся система векторов линейно зависима.
Необходимое и достаточное условие линейной независимости: Для того чтобы система векторов были линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство только при для .
Если k векторов линейно независимы, то и любые m из них также линейно независимы.
Размерность линейного пространства равна количеству базисных векторов. Обозначение: . Здесь n – размерность.
Базисом в линейном пространстве называют систему векторов, если она удовлетворяет двум условиям:
Система линейно независимая.
Любой вектор пространства может быть линейно выражен через векторы этой системы.
Если в линейном пространстве имеется базис, состоящий из n векторов, то и любой другой базис также содержит n векторов.
Линейное пространство, в котором базис состоит из конечного числа векторов, называется конечномерным.
Число векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Обозначение: – линейное пространство размерностью n.
Если в пространстве выбран базис, то любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом.
Предположим, что в базисе вектор может быть представлен двумя способами: и . Вычтем второе уравнение из первого: . Т.к. здесь , то – линейно зависимы, что противоречит условию.
Пусть . Тогда
Любые m векторов (m > n) будут линейно зависимыми.
Любые n линейно независимых векторов образуют базис.
Пусть в пространстве выбран базис и пусть – разложение произвольного по этому базису. Тогда коэффициенты называют координатами в базисе .
Пусть в выбраны два базиса: и . Назовём первый базис «старым», а второй – «новым». Выразим базисные векторы нового базиса через старый: . Матрица – матрица перехода от базиса к базису .
Теорема о замене базиса: Пусть – произвольный вектор и – координаты в базисе – координаты в базисе . Тогда , где T – матрица перехода от базиса к базису .
Разложим по базисам и : , где – j-я координата в базисе .