- •II семестр
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Линейные пространства.
- •Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейных пространств.
- •Подпространство линейного пространства
- •Ядро, образ, ранг, дефект.
- •Операторы простой структуры
- •Координаты вектора в ортонормированном базисе
- •Матрица Грама
- •Ортогональное дополнение к подпространству
- •Ортогональные операторы
- •Самосопряжённые операторы
- •Квадратичная форма
- •Канонический вид квадратичной формы
- •Знакопостоянные квадратичные формы
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Операторы простой структуры
Линейный оператор называется оператором простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов. Он так называется потому, что в базисе из собственных векторов матрица этого оператора имеет диагональный вид. Действительно: пусть – линейно независимые собственные векторы оператора A. Они образуют базис в пространстве . Построим матрицу оператора в этом базисе: .
Если в каком-либо базисе матрица оператора имеет диагональный вид , где не все различные, то векторы базиса являются собственными для оператора A.
Если – различные собственные числа оператора (т.е. для ), то соответствующие им собственные векторы образуют линейно независимую систему.
Пусть – собственное число, – собственный вектор. Тогда и – линейно независимая система, следовательно, для k = 1 теорема верна. Пусть теперь теорема верна для k – 1 собственного числа. Докажем тогда, что только при , т.е. векторы – линейно независимые. Подействуем на обе части этого уравнения оператором , что равносильно . Домножим первое уравнение на . Вычтем из предпоследнего уравнения последнее: . В силу линейной независимости можно утверждать, что это равенство выполняется только при , а т.к. при k i по условию и , т.к. это собственные числа, то . Тогда , т.к. линейно независимы.
Если линейный оператор имеет n собственных чисел, то он – оператор простой структуры.
Инвариантные подпространства
Подпространство называется инвариантным относительно оператора A, если для будет .
Пусть – собственные векторы оператора . Тогда линейная оболочка этих векторов является инвариантным подпространством относительно оператора A.
Евклидово пространство
Линейное пространство называется евклидовым, если в нём задано правило, по которому каждым двум векторам из ставится в соответствие число. Обозначение: . Причём для этого правила должны выполняться три условия:
.
.
.
Это число называется скалярным произведением, а евклидово пространство размерности n обозначается .
Пример: { интегрируемы на }. Тогда .
Ортогональные векторы
Два вектора и называются ортогональными, если .
Если в предыдущем примере , то sin x и cos x ортогональны.
Нормой элемента называют число .
Для нашего примера .
Теорема Пифагора: Если , то .
, т.к. .
Неравенство Коши-Буняковского: .
Рассмотрим для .
Неравенство треугольника: .
.
Угол между векторами
Углом между векторами и называют число .
Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.
Ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.
Пусть – ортогональная система векторов и пусть , где – числа. Умножим обе части этого равенства на . Тогда или . Аналогично для – линейно независимая система.
Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если нормы всех векторов равны единице.
Базис в евклидовом пространстве называется ортонормированным, если он составлен из ортонормированной системы векторов.