10 Дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости (уравнения Эйлера)

Дифферен­циальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из полученных ранее уравнений покоя, если ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся жидкости.J- сила инерции(J_Х, J_У, J _z) O(ноль);

Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению; поэтому в соотношения входит знак минус. Вводя в уравнение третье слагаемое в виде (J_Х, J_У, J _z), представляющее собой проекции на соответствующие оси сил инерции жидкого параллелепипедп, получаем дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (отнесенные к единице массы):

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера, или урав­нениями движения, или уравнениями динамического равновесия.

11.Три основных вида движения жидкости. Понятия вихревого и безвихревого движений.

Как изв-но тв. тело имеет поступательное и вращательное . Жидкость имеет три вида: посту-ое, вращ-ое и деформационное.

В случае движения жидкости вопрос осложняется тем, что отрезок АВ, соединяющий две определенные частицы жидкости (частицу А и частицу В), при течении жидкости изменяет свою длину. Изменение при дви­жении жидкости длин произвольно намеченных отрезков АВ обусловливает изменение формы движущихся объемов жидкости. Такое положение отсутствует в случае твердого тела. Это тело при движении все время сохраняет свою форму.

М ожно показать (после соответствующего строгого обоснования), что в общем случае движение элементарного объема жидкости оказывается воз­можным представить как сумму не двух, а трех различных движений: 1) поступательного; 2) вращательного (как в случае твер­дого тела); 3) особого движения, обусловливающего изменение формы движущихся объемов жидкости; этот последний вид движения назы­вается деформационным. Рассмотрим данный вопрос подробнее. Представим на рис. 3-4, б пучок бесконечно малых лучей одинаковой длины,равной dr, исходящих из центра О. Концы радиусов dr расположатся по окружности.

Рассмотрим элементарный объем жидкости, ограниченный этой окруж­ностью. Предположим, что за время dt данный элементарный объем переме­стится в новое положение (центр его О переместится в точку О'). Рассматривая такое элементарное перемещение выделенного жидкого объема, можем движение его разложить, как только что было отмечено, на три разных вида:

1) поступательное движение; благодаря этому движению центр О пучка радиусов перемещается в точку О'; выделяя это движение, надо в точке О' представить себе начальную окружность, ра­диусы которой параллельны соответствующим радиусам окружности с центром в точке О;

2 ) вращательное движение; благодаря этому движению окружность, представленная в точке О', поворачивается на некоторый средний угол dѲ; при этом поясненные выше отрезки аЬ должны сохранять свою длину (как в случае твердого тела)

3) деформационное движение; благодаря этому движению каждый из намеченных радиусов поворачивается еще надополнительн ы й угол d Ѳ'и, кроме того, удлиняется или укорачивается; величины углов dѲ' поворота и величины укорочения или удлинения разных радиусов будут различны; поэтому начальная окружность с центром О претерпевает дефор­мацию и обращается в фигуру, изображенную сплошной линией на чертеже. Высказанное положение о т р e х видах движения жидкости впервые было сформулировано Гельмгольцем.

Как видно, движение жидкости в общем случае можно условно предста­вить себе как движение бесконечного множества бесконечно малых волчков которые перемещаются поступательно и при этом вра­щаются относительно своих мгновенных осей, а также еще деформируются (изменяют свою форму).

Остановимся на дополнительном пояснении второго вида движения -(вращательного). Угловую скорость вращения элементарных объемов жид­кости относительно своих мгновенных осей обозначим через Ω, а компо­ненты ее — через _x, Ω _y,, Ω _z. Найдем соответствующие выражения для вели­чин Ω _x, Ω у и Ω _z. С этой целью выделим элементарный объем жидкости в виде треугольнои призмы abc . Через аА обозначим биссектрису угла cab.

Предположим, что поступательного движения нет; имеются только вра­щение и деформация. Тогда при движении объема abc начальная точка а будет оставаться на месте. За время dt рассматриваемый объем abc: а) в результате вращения примет положение ab'c', причем биссектриса аА повернется на угол dѲ и получит направление аА';

б) в результате деформации примет окончательную форму аЬ"с".

Надо считать, что в процессе деформации биссектриса аА^! должна сохранять свое направление — не поворачиваться .Имея в виду это положение, можем написать, что

(3-16

где углы da₁ и da₂ представляют собой углы поворота отрезков аЬ в ас (см. чертеж).

Разделив третье уравнение (3-16) на время dt, получаем формула 3-1

В этом уравнении величина dѲ/dt представляет собой среднюю угловую скорость вра­щения Ω_y элементарного жидкого объема abc относительно оси у: dѲ/dt = Ω_y (3-18)

Ч то касается величин, входящих в пра­вую часть уравнения (3-17), то они равны [см. уравнение (3-14) и пояснение к (3-15)

Р ис. 3-5. Вращение и деформация элементарного объема жидкости

Формула (3-19

Подставляя (3-19) и (3-18) в (3-17), получаем окончательное выражение для Ω_у; выражения для Ω_х и Ω_г пишем по аналогии:

(3-2

где индексы х, у, г у величины Ω указывают на то, что вращение происходит соответственно относительно осей х, у и z или вокруг осей, параллельных названным.

Геометрически складывая векторы Ω_х Ω_уи Ω_г можем получить вектор угловой скорости Ω, который и характеризует вращательное движение рас­сматриваемого элементарного объема жидкости относительно его мгновенной оси.

В частном случае, вычислив соответствующие частные производные от компонентов скорости по координатам и подставив их в (3-20), можно полу­чить величины Ω_X Ω_y, Ω_z равными нулю. При этом обратится в нуль также и величина угловой скорости Ω. Такой частный случай будет характеризо­ваться наличием только двух видов движения: поступательного и деформа­ционного (или наличием одного из этих видов движения). В этом случае эле­ментарные объемы жидкости, перемещаясь в пространстве, не вращаются вокруг своих мгновенных осей; вернее сказать, отсутствует вращение так называемых главных осей деформации любого элементарного объема жидкости, т. е. таких трех осей этого объема, которые и после его де­формации остаются взаимно перпендикулярными.

Э тот частный случай движения,когда главные оси деформаций элементарных объемов дви ж у тс я только поступательно, называется безвихревым дви­жением. Движение же когда элементарные частицы вращаются относительно своих мгновенных осей, называется вихревым.