26. Законы внутреннего трения в жидкости. Касательные напряжения трения при ламинарном движении жидкости

П редставим на продольном разрезе потока некоторое живое сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей ABC. Покажем далее два смещенных слоя жидкости, со скоростьями U_l а второй — со скоростью _U2 Поверхность сопри­косновения

1-1 этих жидких слоев имеет площадь S. По этой поверхности (вдоль нее) в реальной (вязкой) жидкости развиваются парные силы внутрен­него трения: T_l приложенная к первому слою со стороны второго, и Т₂, приложенная ко второму слою со стороны первого. Очевидно, ׀ T 1׀ = ׀T2׀

причем первый слой жидкости, движущийся с большей скоростью, за счет трения по поверхности 1—1 способствует ускорению движения второго слоя; второй же слой, наоборот, благодаря трению тормозит первый слой.

Рассмотрим действие только продольных касатель­ных сил трения, действующих вдоль линий тока, причем будем иметь в виду исключительно прямолинейный параллельноструйный поток жидкости.

Законы продольного внутреннего трения, относящиеся к такому случаю движения, были установлены Ньютоном в 1686 г. Эти законы можно сфор­мулировать так:

Сила Т продольного внутреннего трения в параллельноструйном потоке жидкости, т. е. сила трения, возникающая при скольжении отдельных прямолинейных слоев жидкости друг по другу ¹ (рис. 4-5):

1. прямо пропорциональна так называемому градиенту скорости;

2. прямо пропорциональна площади S поверхности соприкасания данных слоев жидкости;

3. не зависит от давления;

4. зависит от физических свойств жидкости (от рода жидкости), а сле­довательно, и от ее температуры.

Положения 1, 2 и 3 отличаются от соответствующих законов, относя­щихся к твердым телам: в случае твердых тел сила трения, как известно, зависит от нормального давления и практически не зависит от скорости дви­жения тела, а также от площади S,

Законы Ньютона можно представить в аналитической форме:

T=ŋ*S*׀ du ⁄ dn׀

Касательные напряжения продольного внутреннего трения для ламинарного режима при прямолинейном движении предста­вятся в соответствии с зависимостью:

τ=T⁄S=η*(du⁄dn)=ŋ*tgӨ Поверхность дна D — D потока. У самой стенки русла; как это считает большинство исследователей, имеется весьма тонкий непо­движный слой, как бы прилипший к стенке, по которому и совершается «скольжение» жидкости; поэтому непосредственно на стенке и = 0.

27 . Распределение скоростей и по живому сечению при ламинарном равномерном установившемся движении жидкости

Р ассмотрим напорную круглоцилиндрическую трубу, имею­щую радиус г0.

Поставим себе цель найти уравнение Кривой АСВ.

Для этого внутри данной трубы выделим центральный круглоцилиндрический столб движущейся жидкости (заштрихован) радиусом г. Для про­дольного касательного напряжения трения τ по боковой поверхности этого столба можно написать два разных выражения:

1) согласно уравнению равномерного движения имеем:

τ=γ*R`*J=γ*(r ⁄ 2)*J

где гидравлический радиус рассматриваемого столба

R`=ω` ⁄ χ` = r ⁄ 2

2) согласно законам Ньютона получаем

τ = ŋ*׀ du ⁄ dn׀ = - ŋ * (du ⁄ dn)

здесь при выбранном направлении г величина отрицательна.

Решая совместно получаем

du = - 1⁄2 * (γ ⁄ ŋ) * Jr*dr

Интегрируя получаем

u = -(γ ⁄ 4*ŋ) * J*r² + C

Постоянную интегрирования С находим из условия, что при г = г0величина и = 0

Получаем u =( γ ⁄ 4*ŋ)* J *(r0² - r²)

где J — пьезометрический уклон.

Как видно, кривая АСВ является параболой. Подстав­ляя г = О, получаем максимальную величину скорости в центре трубы:

Umax = 1 ⁄ 4 * (γ ⁄ ŋ) * J *r0²

При найденной эпюре распределения скоростей и по живому сечению потока величины коррективов α0 и α в случае ламинарного движения жид­кости в круглой трубе оказываются равными: α0 = 1,33; α = 2,0.

Заметим, что построенная по уравнению эпюра скоростей (в виде параболы) местах, при которых напряжения т, вычисленные по зависимости , распределяются вдоль радиуса живого сечения по линейному закону .

В случае широкого прямоугольного канала, рас­суждая так же, как и выше, можно получить уравнение, аналогичное (4-35). Оказывается, что в этом случае эпюра скоростей также ограничена п ар а б о л о й, причем максимальная скорость Umax получается на свободной поверхности