17. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости (вывод).

Для вывода уравнения Бернулли используем теорему «изменения кинетической энергии»: изменение кинетической энергии рассматриваемого тела на некотором его перемещении равно сумме работ всех сил (внешних и внутренних), приложенных к данному телу на том же перемещении.

Возьмем элементарную струйку потока. Выделим сечениями 1—1 и 2—2 некоторый отсек струйки АВ.

Обозначим через z₁ и z₂ превыше­ния сечений 1—1 и 2—2 над плоскостью сравнения 00, через δω₁ и δω₂— площади живых сечений струйки в сечениях 1—1 и 2—2.

Будем считать, что за время δt отсек АВ переместится в А'В'; при этом сечение 1—1 переместится на расстояние δS₁ и сечение 2—2 струйки — на расстояние δS₂. Заметим, что

δS₁ = u₁* δt, δS₂ == u₂*δt,

где u_г и и₂ — скорости в сечениях 1—1 и 2—2.

Объемы элементарных отсеков струйки δV₁(АА') и δV₂(ВВ') равны: δV₁= δV₂= δV

Обозначим массу элементарного объема δV через δМ:

δМ=ρδV= δω*u* δt*ρ,

где ρ— плотность жидкости.

1°.Изменение кинетической энергии отсека АВ при перемещении его в положение А'В' можно записать:

δ(КЭ)=КЭ (А'В')- КЭ (АВ)=КЭ (А'В + ВВ')- КЭ (АА' + А'В)=КЭ (ВВ')-КЭ(АА')

т. е.

2°. Работа сил при перемещении отсека АВ в поло­жение А'В'.

1. Работа силы тяжести.

Р_с.т= δVγ(z₁-z₂).

2. Работа сил гидродинамического давления, действующего на торцовые сечения 1—1 и 2—2 отсека АВ

Р_с.д=( Р₁δω₁-Р₂δω₂) δS

3. Работа внешних сил давления окружающей жидкости на боковую поверхность отсека АВ. Эта работа равна нулю, так как силы направлены перпендикулярно к перемещениям жидких частиц, движущихся вдоль боковой поверхности отсека АВ.

4. Работа внутренних сил давления. Эта работа равна нулю, т. к. эти силы являются параллельными и противоположно направлены.

5. Работа внешних и внутренних сил трения равна нулю, т. к. жидкость идеальная.

ρ=γ/g

Получаем ур-ние Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости:

18. Значение трех слагаемых, входящих в уравнение Бернулли. Геометрическая и энергети­ческая интерпретация уравнения Бернулли для элементарной струйки.

Значения трех слагаемых, входящих в уравнение Бернулли

1. Координата z называется отметкой: z представляет собой возвышение рассматриваемого живого сечения струйки над горизон­тальной плоскостью ОО, которая называется плоскостью сравне­ния.

2. Член р/γ представляет собой пьезометрическую высоту, отвечающую гидродинамическому давлению р в точке. Можно сказать, что р/γ является высотой столба жидкости в пьезометре, приключенном к рассматриваемому живому сечению струйки.

3. Член u²/(2g) называется скоростным напором. Размер­ность этого слагаемого, так же как и размерность двух других слагаемых, линейная. Величина u²/(2g) предста­вляет собой высоту, с которой в пустоте должно свободно (без начальной скорости) упасть тело, чтобы приобрести скорость u. Величина u²/(2g) может быть измерена при помощи так называемой трубки Пито, у которой нижний конец загнут так, чтобы скорость и была направлена во входное отверстие трубки.

Геометрическая интерпретация

Представим элементарную струйку идеальной жидкости; наметим 2-а сечения1—1 и 2—2, возвышающиеся над плоскостью сравнения 00 на z₁ и z₂. В точках а₁ и а₂ подключим пьезометры. Горизонт воды в этих пьезометрах установится на высоте b₁ и b₂. Если к точкам а₁ и а₂ подключим дин. трубку, то горизонт воды в ней установится в точках с₁ и с₂. На оси струйки наметим целый ряд точек а׳, а״, а׳״ и т.д. После чего отмет. на чертеже соответствующие точки b и c (b׳, b״… c׳, c״…), имеющие тот же смысл, что и точки b₁ и b₂, с₁ и с₂.

1. Линия Р—Р, возвышаю­щаяся на величину р/γ над осью струйки, называется пьезометриче­ской линией.

2. Линия Е — Е, возвышаю­щаяся над линией Р — Р на величину скоростного напора, называется напорной линией.

3. Пьезометрическим уклоном I׳ струйки в данном ее сечении называется элементарное падение пьезометрической линии Р—Р (d(z+p/γ)), отнесенное к соответствующей элементарной длине (dS) струйки: I׳=-( d(z+p/γ))/ dS

Если Р–Р поднимается по течению, то I׳–отрицательно. Если понижается, то положительно.

4. Полный напор H_e^׳ представляет собой сумму трех членов:

С геометрической точки зрения Н'_е является возвышением напорной линии над плоскостью сравнения. Для идеальной жидкости напорная линия лежит в горизонтальной плоскости; величина же полного напора Н'_е является постоянной вдоль струйки. Энергетическая интерпретация Для элем. струйки полную удельную энергию следует рассматривать как меру полной механической энергии, принадлежащей единице веса жидкости проходящей данное поперечное сечение струйки.