28. Формула Пуазейля. Потеря напора по длине при ламинарном равномерном установившемся движении жидкости

Рассмотрим напорное движение в круглоцилиндрической трубе . Найдем сперва величину расхода Q для этой трубы. Напишем выражение для элементарного расхода dQ, проходящего через элементарную часть пло­щади живого сечения dco в виде «кольца» радиусом г:

dQ = u * dω = u 2π r dr

Q = M J D² , где М зависит от рода жидкости

Средняя скорость

V = Q ⁄ ω = ( π ⁄ 128 * (γ ⁄ ŋ) *J*D) ⁄ (π*D² ⁄ 4) = 1 ⁄ 32 * γ⁄ŋ * J*D²

Формула была впервые получена доктором медицины Пуазейлем в 1840 г., причем он пришел к этой зависимости чисто эмпирическим путем, исследуя движение жидкости в тонких капиллярных трубках. Из рассмо­трения зависимости можно сделать следующие существенные выводы.

В случае ламинарного движения потеря напора hi

1) зависит от свойств жидкости, что учитывается коэффициентом вяз- кости к], а также величиной >у;

2) прямо пропорциональна средней скорости v в первой степени;

3) не зависит от шероховатости стенок русла — в формулу (4-43) не входят какие-либо характеристики шероховатости стенок русла.

Потерю напора ht для круглоцилиндрической трубы в случае ламинарного режима иногда представляют в виде

h = λ * l ⁄ D * V² ⁄ 2*g

при ламинарном режиме:

λ = 64 ⁄ Re

причем, как видно, X зависит здесь от скорости v (входящей в выражение для ReD).

29. Распределение осредненных скоростей по живому сечению потока при турбулентном равномерном установившемся движении.

1°. Общий характер распределения осредненных скоростей по живому сечению потока при турбулентном движении. Ламинарный подслой. Пред­ставим, а эпюру осредненных скоростей для живого селения АВ. Как показывает опыт, эта эпюра характеризуется следующим:

1) вблизи стенок скорость и вдоль линии ВА резко увеличивается,

т. е. в этом месте ~ имеет большую величину;

2) в некотором удалении от стенки и изменяется относительно мало;

в этом месте имеет относительно малую величину.

При помощи подкрашивания жидкости, движущейся в трубе можно убедиться в том, что жидкость из центральной части трубы переносится к боковым границам потока; наоборот, жидкость от границ потока (с низшим содержанием кинетической энергии) переносится к центру трубы. Именно в результате такого турбулентного перемешивания распреде­ление скоростей по живому сечению в средней части потока оказывается при турбулентном движении значительно более равномерным, чем при лами­нарном.

Если в случае ламинарного напорного движения в круглой трубе V ⁄ Umax = 0,5 (где U_макс — скорость по оси трубы), то в случае турбулент­ного движения в такой трубе обычно, как показывает опыт, V ⁄ Umax = = 0,70^-0,90 (с увеличением числа Рейнольдса Re это отношение увеличи­вается; оно зависит также от шероховатости стенок потока).

Согласно исследованиям Л. Прандтля в турбулентном потоке скорость движения жидких частиц непосредственно у стенки равна нулю. В соответ­ствии с этим принято считать, что вблизи стенок русла имеется тонкий слой жидкости толщиной б, где скорости столь малы,

что в пределах этого слоя получается движение жидкости, близкое к ламинарному. Этот слой называется ламинарным или вязким подслоем. Толщина его измеряется обычно долями миллиметра

2°. Гидравлически гладкие и шероховатые трубы. На рис. обозна­чены: А — высота выступов шероховатости стенки русла и б — толщина ламинарного вязкого подслоя.

При наличии схемы а выступы шероховатости покрываются (сглажи­ваются) ламинарным (вязким) подслоем , причем получаем так назы ваемые гладкие стенки (иногда говорят «гидравлически гладкие» стенки). В этом случае потери напора по длине оказываются не зависящими от шероховатости стенок русла.

При наличии схемы выступы шероховатости не покрываются полностью ламинарным (вязким) подслоем (б <1Д); эти выступы «вклиниваются» (как отдельные «бугорки») в турбулентную зону, и о них могут «ударяться» жидкие частицы турбулентного ядра потока.² В этом случае потери напора по длине зависят от шероховатости стенок русла.

Особыми исследованиями было установлено, что толщина ламинарного (вязкого) подслоя б уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. Отсюда ясно, что понятия гладкой и шероховатой стенок являются понятиями относительными: одна и та же стенка в одних условиях (при малых Re) может быть «гладкой», в других же условиях (при больших Re) может быть «шероховатой».

3°. Зависимости для построения эпюры осредненных скоростей в случае напорных круглых труб при турбулентном движении. Вопросу о распредетрения по боковым стенкам (тг е. тормозящему действию стенок) эпюра скоростей будет постепенно деформироваться (см. чертеж) и толщина погра­ничного слоя по длине потока будет все увеличиваться (до сечения п — п).

Только на расстоянии 1Н от начала трубы эпюра скоростей оконча­тельно сформируется и примет вид (рис. 4-22) эпюры а в случае равномерного ламинарного движения или эпюры б в случае равномерного турбулентного шижения. В сечении п — п толщина погра­ничного слоя оказывается равной половине диаметра трубы.