4 Уравнение Эйлера и их интегрирование

Р ассмотрим покоящуюся жидкость, на к-ю действуют внешние объемные силы. Объемную силу, действующую на единицу массы, рассматриваемой жидкости, будем обозначать буквой Ф, а проекции силы Ф на оси соответственно: Фх, Фу, Фz. Давление Р в различных точках покоящихся жидкостей будет различны, т.е. Р=f (x, y, z). Установим связь между давлением Р и координатами точек, а также величиной силы Ф. Наметим оси, выделим элементарный объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда 1,2,3,4; стороны равны dx, dy, dz и будем их считать бесконечно малыми. В центре наметив точку А с координатами (x, y, z). Проведя через точку А линию MN параллельную ох , можно утверждать, что в общем случае гидростатическое давление будет непрерывно изменяться по этой линии. Изменение гидростатического давления, приходящегося на единицу длины линии MN, м.б. представлено частной производной: Используя выразим давление в точках M и N.

Рассмотрим покоящуюся жидкость, на которую действует та или иная внешняя объемная сила. Обозначим через фх, фу, фz проекции силы ф на оси Ох, Оу, Оz.

В общем случае давление р в разных точках покоящейся жидкости будет различным: p=f (x, y, z)

Для того чтобы установить связь между давлением р и координатами точек, а также величиной ф, поступаем следующим образом.

Наметив оси координат Ох и Оz, выделяем элементарный объем покоя­щейся жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда 1-2-3-4; стороны параллелепипеда dх и dz, а также dу (перпендикулярную к пло­скости чертежа) считаем бесконечно малыми.

В центре параллелепипеда намечаем точку А с координатами х, у и z. Давление в этой точке обозначаем через р. Проведя через точку А линию МN параллельную оси Ох, можем утверждать, что в общем случае величина гидростатического давления будет непрерывно изменяться вдоль этой линии. Изменение величины гидростатического давления, приходящееся на еди­ницу длины линии МN, может быть представлено частной производной .

Используя величину , выразим давления в точках М иN в виде:

где второе слагаемое правых частей равенств выражает изменение давле­ния р на длине 1/2 dx. Делаем вы­вод только 1-го дифференциального урав­нения.

1. Силы, действующие на параллеле­пипед 1-2-3-4:

а) объемная сила равна ф(dx,dy,dz)ρ; где(dx,dy,dz)ρ — масса жидкости, образующей параллелепипед 1-2-3-4; проекция этой силы на oх равна

фх (dx,dy,dy) ρ;

б)_поверхностные силы: проекция на осьОх разности сил давления на грани 1—4 и 2—3 равна нулю; проекция на Ох разности сил давления на грани 1-2 и 3-4 равна:

Сумма проекций всех сил на ось Ох равна

Так выглядит первое уравнение; остальные два пишем по аналогии с первым. Найденные три дифференциальных уравнения (отнесенные к еди­нице массы жидкости) имеют окончательный вид:

(2.1)

Эти уравнения были получены Л. Эйлером в 1755г.

Умножаем 1-е дифференциальное уравнение (2.1) на dх, 2-е на dу и 3-е на dz. После этого складываем левые и правые части этих уравнений: (2.2)

Так как давление в точке р есть функция только координат: p=f(x, y, z) то можно утверждать, что выражение, входящее в равенство (2.2) и заклю­ченное в скобки, является полным дифференциалом р, т. е. это выражение равно dр. Поэтому уравнение можно переписать в виде dр = ρ(фхdх + фуdу + фгdz). (2,3)

Учитывая, что плотность жидкости р = const, то

в ыражение, вводящее в (2,3) и заключенное в скобки, является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат. Обозначим эту последнюю функцию через U, причем U =f(х, у,z). Тогда вместо (2.3) можем написать

dр = ρdU,(2,4) где dU = фхdх + фуdу + фгdz. С другой стороны, полный дифференциал dU можно представить как сумму частных дифференциалов:

Сопоставляя видно

Так как U есть функция только координат и так как частные производ­ные ее по координатам дают соответствующие проекции (фх; фу; фг) объемной силы, отнесенной к единице массы, то, следовательно, U является потенциальной функцией. Объемная же сила ф является силой, имеющей потенциал. Из сказанного ясно, что однородная несжимаемая жидкость (для которой р =const) может находиться в покое под действием только таких сил, которые имеют потен­циал. Интегрируя (2,4), получаем р=ρU+С, где С — постоянная интегрирования. Чтобы определить С, рассматриваем некоторую точку жидкости, для которой известны р и U: p=p0, U=U0

Для этой точки перепишется в виде: р0 = ρU0+С, откуда, Окончательно получим