Формулы для вычисления длины вектора.

- на плоскости

- в пространстве

Формулы для вычисления угла между векторами.

- по координатам векторов на плоскости

- по координатам векторов в прострвнстве

38. Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой, векторное, каноническое, уравнение прямой в отрезках; уравнение прямой, заданной двумя точками. Уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

 

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях отрезки а, b (не равные нулю), то ее можно представить уравнением

х/а+у/b=1

Каноническое уравнение

Прямая L,проходящая через точку М₀ (х₀;у₀;z₀) и имеющая направляющий вектор а (l;m;n), представляется уравнением

х-х0/l=y-y0/m=z-z0/n

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Прямая, проходящая через точки М₁ (х₁;у₁;z₁) и М₂ (х₂;у₂;z₂), представляется уравнениями

х-х₁/х₂-х₁=у-у₁/у₂-у₁=z-z₁/z₂-z₁

39. Уравнение окружности. Координаты центра окружности.

Уравнение окружности в декартовых координатах с центром в точке O(a; b) и радиусом R имеет следующий вид:

40. Параллельность и перпендикулярность прямых, заданных уравнениями.

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнением

у=k₁x+b₁ (1)

y=k₂x+b₂ (2)

служит равенство двух коэффициентов

а₁=а₂,

т. е. прямые (1) и (2) параллельны, если угловые коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые коэффициенты не равны.

Пример. Прямые y=3x-5 и y=3x+4 параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны (k₁=k₂=3)

Замечание 1. Если уравнение одной из двух прямых не содержит ординаты (т.е. прямая параллельна оси ОY), то она параллельна другой прямой при условии, что уравнение последней также не содержит у. Например, прямые 2х+3=0 и х=5 параллельны, а прямыех-3=0 и х-у=0 не параллельны.

Замечание 2. Если две прямые представлены уравнениями

А ₁х+В₁у+С₁=0

А₂х+В₂у+С₂=0

то условие их параллельности есть

А₁В₁-А₂В₂=0

или в другом обозначении

А ₁ В₁ = 0

А₂ В₂

Пример. Прямые

2х-7у+12=0

х-3,5у+10=0, параллельны, т.к.

2 -7 =2.(-3,5)-1.(-7)=0

1-3,5

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

у=k₁x+b₁ (1)

y=k₂x+b₂ (2)

служит соотношение

а₁а₂=-1

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример. Прямые у=3х и у=-1/3х перпендикулярны, т.к. а1а2=3.(-1/3)=-1

Если две прямые представлены уравнениями

А₁х+В₁у+С₁=0

А₂х+В₂у+С₂=0

то условие их перпендикулярности есть

А₁А₂+В₁В₂=0

Пример. Прямые 2х+5у=8 и 5х-2у=3 перпендикулярны; действительно, здесь А₁=2, А₂=5,В₁=5, В₂=-2,

значит, А₁А₂+В₁В₂=10-10=0