1.Система действительных чисел и операции над числами. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия с дробями.

Действительное число – любое положительное или отрицательное число или нуль.

Операции над числами:

1. Свойство сложения а+0=а (свойство нуля);

а+(-а)=а(сумма противоположных чисел)

2. Свойство вычитания а-(b+с)=а-b-с (вычитание суммы чисел от числа)

(а+b)-c=(а-с)+b=а+(b-c (вычитание числа от суммы)

3. Свойство умножения а.b=b.а (переместительное свойство)

(а.b).с=а.(b.с) (сочетательное свойство)

(а-b).с=а.с-b.с (распределительное свойство)

4. Свойства деления (а.b):с=а.(b:с)=(а:с).b (деление произведения на число)

(а+b):с=а:с+b:с (деление суммы на число)

Одна или несколько равных частей единицы называют натуральной дробью.

7 -числитель

_ -дробная черта

9 -знаменатель

Дробь, у которой числитель равен знаменателю=0

Если числитель меньше знаменателя, то это правильная дробь

Если числитель больше знаменателя, то это неправильная дробь

Если в числе явно выделены целая и дробная части, то это смешанное число

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть

Основное свойство дроби: a/b=c/d, если ad=bc

Сократить дробь - разделить числитель и знаменатель на одно и то же отличное от нуля число

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10:

2 - если четные числа

3 и 9 - если сумма чисел делится на 3

5 - если оканчивается на 5 и 0

10 - если оканчивается на 0

Сложение и вычитание дробей

7/9 + 2/9=1

7/3+16/6=14/6+16/6=30/6=5

Действие вычитания может привести к понятию отрицательной дроби.

Умножение дробей:

a/b*c/d=a*c/b*d (сократить если возможно)

Любые две дроби a/b и b/a являются взаимно обратными, т.к. произведение их = 1

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической

2.Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений.

Иррациональное уравнение – это такое уравнение, которое содержит переменную под знаком корня. Обязательна проверка.

Методы приведения иррационального уравнения к рациональному:

• Возведение в квадрат

x² - 3 = 1

x² = 4

x=-2;2

Проверка. При x₁ = -2     - истинно: При x₂ = -2    - истинно. 

• Метод уединения радикалов

- =3

( )²=(3+ )²

х+20=9+6 +х+1

х+20-9-х+1=6

12=6

=2

х-1=4

х=5

• Метод подстановки

х²+2х+ -12=0

х²+2х=t

t+ -12=0

=12-t

T+8=144-24t+t²

t²-25t+136=0

D=81

t=8;17

х²+2х=8 х²+2х=17

находим дискриминант и решаем.

3.Определители 2 и 3 порядка. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Основные случаи решений системы линейных уравнений.

Решением системы называется пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Способы решения:

Подстановка

Сложение

Графически

По формулам Крамера

Формулы Крамера применяются для решений систем линейных уравнений.

Определителем 2го порядка составленного из чисел a₁, a₂,b₁,b₂, называется число вида: ∆=| a₁ b₁|

|a₂ b₂|

= a₁ b₂- a₂ b₁

∆_х=|с₁ b₁|= с₁ b_2- с₂ b₁

| с₂ b₂|

∆_у=| a₁ с₁|= a₁ с_2- a₂ с₁

|a₂ с₂|

∆_{х у}- вспомогательный определитель

Если ∆≠0, то х=∆_х/∆

Если ∆=0, то либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Если ∆=0, а ∆_{х и} ∆_у ≠ 0, то система не имеет решений.

Определители 3го порядка:

∆=| a₁ b₁ с₁|= a₁ b₂ с_3- a₂ b₁ с_3- b₃ с₂ a_{1 +} a₃ b₂ с₁₊ a₂ b₃ с₁₊ b₁ с₂ a₃

| a₂ b₂ с₂|

| a₃ b₃ с₃|

х =∆_х/∆=|d₁ b₁ c₁|

|d₂ b₂ c₂| : ∆ - - + + +

|d₃ b₃ c₃|

у=∆_у/∆=|a₁ d₁ c₁|

|a₂ d₂ c₂| : ∆

|a₃ d₃ c₃|

z=∆_z/∆=|a₁ b₁ d₁|

|a₂ b₂ d₂| : ∆

|a₃ b₃ d₃|