12.Показательная функция. Свойства и график функции

Функция вида (где a>0, a 1) называется показательной функцией по основанию а.

Свойства функции , a > 1:

1. D(у) = R;

2. не является ни четной, ни нечетной;

3. возрастающая;

4. ограничена снизу 0;

5. экстремумов нет;

6. непрерывна;

7. E(у) = (0;+  );

8. не периодическая;

9. у=0 горизонтальная асимптота.

Свойства функции y = a^x , 0< a < 1:

1. D(у) = R;

2. не является ни четной, ни нечетной;

3. убывающая;

4. ограничена снизу 0;

5. экстремумов нет;

6. непрерывна;

7. E(у) = (0;+  );

8. не периодическая;

9. у=0 горизонтальная асимптота.

13.Решение показательных уравнений и неравенств.

Уравнения, в которых переменная находится в показатели степени называются показательными уравнениями.

Простейшее показательное уравнение имеет вид a^x=b, где а и b- некоторые числа, а

х- переменная.

Уравнение имеет решение при b>0,т. к. a^x>0 при любых х.

Способы решения показательных уравнений:

1.Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию.

a^f(x)=a^g(x),при a>0 и a не равно 0.

2.Вынесение за скобки общего множителя.

3.Введение новой переменной.

4.Деление обеих частей уравнения на одно и то же число.

Примеры:

Первый способ:

5^х2-2х-1=25

5^х2-2х-1=5²

х²-2х-1=2

х²-2х-3=0

х₁.х₂=-3

х₁+х₂=2

второй способ:

6^х+1+35.6^х-1=71

6^х-1(36+35)=71

6^х-1.71=71(делим на 71)

6^х-1=1

6^х-1=6⁰

х-1=0

х=1

третий способ:

4^х-5.2^х+4=0

Пусть 2^х=t

4^x=2^2x=(2^x)²=t²

t²-5t+4=0

x₁=1

x₂=4

2^x=1 или 2^х=4

2х=2⁰ х=2

х=0

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции у=а^х: эта функция возрастает при а>1 и убывает при 0<а<1.

Пример:

0,5^7-3х<4

0,5^7-3х<0,5^-2

0,5<1-функция убывает, знак меняем

7-3х>-2

x<3

Ответ (- бескон;3)

14. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Логарифмическим уравнением называется уравнение вида log_af(x)=log_ag(x), где a>1 и а не равно 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду.

При их решении обязательно находим ОДЗ или выполняем проверку, т.к. .D(log_a)=(0;+ бескон), т. е. существуют логарифмы только положительных чисел.

Способы решения:

1.По определению логарифма:

а) простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b, где a>0, a не равно 1 и a^b=x

б) более сложные уравнения log_af(x)=b, ОДЗ:f(x)>0 и a^b>f(x)

2.Введение новой переменной

3.Разложение на множители

4.Переход к новому основанию

5.Логарифмирование обеих частей уравнения

6.Использование свойств логарифма и получение уравнения logaf(x)=logag(x), где a>0 и а не равно 1

О ДЗ f(x)>0

g(x)>0

решение сводится к решению уравнения f(x)=g(x)

это уравнение:

а) надо решить

б) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x)>0;g(x)>0.

Остальные корни уравнения f(x)=g(x) являются посторонними для уравнения log_af(x)=log_ag(x)

Примеры:

log _2/3x=-3

ОДЗ: x>0

(2/3)^-3=x

x=27/8

примеры решения лог. неравенств:

log₃x>2

log₃x>2.log₃3

log₃x>log₃3²

3>1-функция возрастает

x>9

ОДЗ x>0

Ответ x>0

18.Свойства и график

Свойства функции

1. D(у) = R;

2. нечетная;

3. В интервалах (—   + 2πn ; 2πn)  функция   возрастает, а  в   интервалах  ( 2πn;   2πn)  она убывает.

4. ограничена —1< у < 1;

5. непрерывна;

6. E(у) = ;

7. Периодическая. С наименьшим периодом 2π;

8. Нули функции sin x=0, при x= πn