67. Объем цилиндра (вывод)

  Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H.  Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда    Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

69. Объем конуса(вывод). Объем усеченного конуса.

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник P, содержащий основание конуса, и многоугольник P`, содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями P и P` и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе.  Существуют такие многоугольники P и P`, площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон n неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к 1/3 SH, где S – площадь основания конуса, а H – его высота. Согласно определению отсюда следует, что объем конуса    Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

  Пусть есть усеченный конус с радиусами оснований R1 и R2 (R2  Тогда объем усеченного конуса равен:   

70. Объем шара (вывод). Объем шарового сектора, объем шарового сегмента.

Применяя формулу для объема тел вращения вычислим объем шара.    Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость xy пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая задается формулой    Полуокружность, расположенная над осью x, задается уравнением    Поэтому объем шара определяется по формуле 

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула:  , где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового сегмента.. 

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.  Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара:    где R – радиус шара, а H – высота шарового сегмента. 

49. Критические точки функции. Теорема существования экстремумов функции.

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f(х)>0 и f'(х)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 1 и 2). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Необходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:F’(x₀) =0. Рассмотрим случай f'(x₀)>0. По определению производной отношение   при х→х0 стремится к положительному числу f' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x₀. Для таких х

и, значит, f(x)>f(x₀) для всех х>х₀ из некоторой окрестности точки x₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума. Если же х<х₀, то f (x)<f(x₀), и, следовательно, х₀ не может быть и точкой минимума f. Случай F'(x₀)<0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(х)=х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 3). До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции   не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.