41. Приращение аргумента и приращение функции. Понятие производной функции. Вычисление производной по 4 действиям.

Свойство функции быть непрерывной в точке равносильно тому, что разность   является бесконечно малой при .

Другими словами, это означает, что

где   - бесконечно малая функция при  .

Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке   имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. формулу)

Это выражение называется приращением функции   в точке  . Оно обозначается так:  . Данное обозначение используется и в том случае, когда   не является непрерывной функцией в точке 

Итак, если   при  , то функция   будет непрерывной в точке  , и наоборот. Для простейшей функции   ее приращение   называется приращением аргумента поскольку при   значение функции   равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение  . Имеем, что   при 

Аргумент   можно выразить через его приращение  . Действительно,  . Следовательно, при фиксированном   приращение   можно рассматривать как некоторую функцию от  , т.е.

.

Когда хотят подчеркнуть, что значение   равно   при   и  , то пишут

 или 

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс —интегрирование.

42. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

1)Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке  он имеет невертикальную касательную  .  Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента  , где  – угол наклона прямой   к оси  .

Пусть  – угол наклона секущей к оси ,  где   . Так как   – касательная, то при 

 ⇒   ⇒     .

Следовательно, таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

  Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением ,  то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке   будет иметь вид

,  если  .

Если же , то касательная к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид  , а нормаль

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке A (x₀; f(x₀)). Уравнение прямой с угловыми коэффициентом f’(x₀) имеет вид: 

y = f’(x₀)*x + b

Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: 

f(x₀) = f’(x₀)*x₀ + b, откуда b = f(x₀)-f’(x₀)*x₀,

значит, уравнение касательной таково: 

y=f’(x₀)x-f’(x₀)*x₀+f(x₀), или y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀).