8.Корень n-ой степени и его свойства.

Свойства корней:

= *

=

=

=

= ^k

Определение:

– называется такое число n, степень которого равна а.

равно b, =b, =a

Арифметическим корнем n степени из числа а называется не отрицательное число, n степень которого равна а.

При нечетном n существует корень n степени, из любого числа а, и при том только один.

Дли любого действительного х,

Свойства:

1. = *

Корень n-степени из произведения неотрицательных со-множителей равен произведению корней из этих со-множителей.

2. =

Корень n-степени из дроби с не отрицательным числителем и положительным знаменателем равен отношению корней из числителя и знаменателя.

3. =

Чтобы извлечь корень и корня достаточно перемножить показатели корней.

4. =

Основное свойство корня n-степени. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно разделить на одно и то же положительное число.

5. =

Чтобы корень n-степени возвести в степень, достаточно подкоренное выражение возвести в эту степень, а затем извлечь корень.

9.Степень с произвольным действительным показателем. Основные свойства.

Степени с действительными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с натуральным показателем. Сформулируем их. Пусть а,b некоторые положительные действительные числа;r,r1,r2- произвольные действительные числа.

Основные свойства:

1.a^r1.a^r2=a^r1+r2

При умножении степеней с одинаковым основанием , основание остается прежним, а показатели складываются.

2.a^r1/a^r2=a^r1-r2

При делении степеней с одинаковым основанием, основание степени сохраняется, а показатели вычитаются.

3.(a^r1)r2=a^r1.r2

При возведении степени в степень, основание степени сохраняется, а показатели перемножаются.

4.(ab)^r=a^r.b^r

При возведении произведения в степень надо каждый множитель возвести в эту степень.

5.(a\b)^r=a^r\b^r, b не равно 0

При возведении дроби в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень, при условии, что знаменатель дроби не равно 0.

Замечание!

Все 5 формул применяются как слева направо, так и справа налево.

10. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество. Натуральные и десятичные логарифмы. Основные свойства логарифмов. Формула перехода от одного основания логарифма к другому.

Логарифмом числа b по основанию a  определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. =c; =b

Основное логарифмическое тождество: =b

Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) обычно обозначают lg a

Натуральные логарифмы (логарифмы по основанию e=2,718281828) обычно обозначают

Основные свойства логарифмов:

=1

= k

= +

= -

=c

Формулы перехода от одного основания к другому:

=

=

11.Логарифмическая функция. Свойства и график функции

Функция заданная формулой называют логарифмической функцией по основанию а. . Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0).

Свойства функции у = log_aх , a > 1:

1. D(у) = (0; + );

2. не является ни четной, ни нечетной;

3. возрастает на (0; + );

4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна;

7. E(у) = (- ;+  );

8. выпукла вверх;

9. дифференцируема.

Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 : D(у) = (0;+  ); не является ни четной, ни нечетной; убывает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(у) = (-; +  ); выпукла вниз; дифференцируема.