4.Числовая последовательность. Постоянная и переменная величина. Монотонность и ограниченность последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая величина.

Числовая последовательность – последовательность, членами которой являются числа.

Если каждому натуральному числу поставить в соответствие определенное действительное число: 1-а, 2-а₂, 3-а₃, n-а_n, тогда говорят, что задана числовая последовательность.

а- первый член последовательности

а₂-второй член и тд

1², 2², 3², n² – каждому нат. числу соответствует его квадрат a_n=n², если n натуральное число

Способы задания числовой последовательности:

Аналитический – последовательность задается формулой n-го члена.

Рекуррентный – любой член последовательности начиная с некоторого, выражается через предыдущие числа.

Словесная – задание последовательности описанием.

Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения

Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.

Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.

Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.

Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.

Монотонность последовательности. Бывает: возрастающая, убывающая и постоянная.

Возрастающая – если каждый её член начиная со второго больше предыдущего. Х_n+1˃x_n

Убывающая – если каждый член последовательности будет меньше предыдущего. Х_n+1˂x_n

Постоянная – если члены последовательности не изменяются. Х_n+1= Х_n+1

Ограниченность последовательности.

Ограниченная сверху последовательность – если существует такое число М, что для всех нат чисел выполняется неравенство x_n≤M

Ограниченная снизу последовательность – если существует такое число m, что для всех нат чисел выполняется неравенство x_n≥m

Неограниченная последовательность – если для любого положительного числа найдутся члены последовательности, превосходящие M по абсолютной величине.

Бесконечно малая величина — это последовательность, предел которой равен нулю.

Бесконечно большая величина — это последовательность, предел которой равен бесконечности

6.Числовая функция. Способы задания функций. Основные свойства функций.

Зависимость между переменными х и у при котором каждому допустимому значению переменной х соответствует одно единственное значение переменной у называется функцией.

у=f(x),где у-зависимая переменная (функция); х-независимая переменная (аргумент)

Способы задания функции:

- аналитический (с помощью функции)

- табличный (с помощью таблицы)

- графический

Основные свойства функций:

1.Область определения функции: D(y)-множество значений аргумента, при котором функция существует и выражается действительным числом. Найти область определения – это указатель числового промежутка

(а;b) а<x<b

[a;b] a<x<b

[a;b) или (a;b]

2.Область значений Е(у)

3.Четность,нечетность;f(x)-четная,если f(-x)=f(x)(график симметричен относительно Оу)

f(x)-нечетная, если f(-x)=-f(x)(график симметричен относительно начала координат)

4.Возрастание,убывание (монотонность)

Функция f(x) возрастает на множество р, если для любых х1 их2 из множества р, таких что х2>х1,выполняется неравенство f(x2)>f(x1)

f(x2)<f(x1)-убывает

5.Экстремумы функции – это минимумы и максимумы f(x0)-экстремум

Точка х0 называется точкой min функции f(x),если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)<f(x)

Точка х0 называется точкой min функции f(x), f(x0)-минимум функции

Точка х0 называется точкой max функции f(x),если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)>f(x)

Точка х0 называется точкой max функции f(x), f(x0)-максимум функции

6.Нули функции – значения аргумента х, при которых у=0.

7.Интервалы знака постоянства

8.Точки пересечения с осями координат

С Ох: у=0 х=…

С Оу: х=0 у=…

9.Поведение функции при х стремится +бесконечность

10.Переодичность