43. Правило дифференцирования суммы двух функций, произведения двух функций, частного двух функций.

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х₀обозначаются для краткости так: u(х₀) = u, v(х₀) = v, u'(х₀) = u', v'(х₀)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)' = u' + v'.

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.  1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х₀+Δx)+ v(х₀+Δx) – (u(х₀)+v(х₀)) = (u(х₀+Δx)-u(х₀)) + (v(х₀+Δx)-v(х₀)) = Δu + Δv 

3) Функции u и v дифференцируемы в точке х₀, т. е. при Δх→0 

Тогда

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)' = u'+v’  Лемма..Если функция f дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке: Δf→0 при Δx→0, т. е. 

f(х₀ + Δх)→f (х₀) при Δx→0

Действительно, 

при Δх→0, так как

Итак, Δf→0 при Δx→0, т. е. для дифференцируемых функций f (х₀ + Δx)→f (х₀) при Δх→0.

44. Производная у=х, у=Сх, у=хn

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции.

1 . Производная от числа равна нулю  с´ = 0  Пример:  5´ = 0  2. Производная переменной равна единице  x´ = 1  3. Производная переменной и множителя равна этому множителю  сx´ = с  Пример:  (3x)´ = 3  4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю  |x|' = x / |x| при условии, что х ≠ 0  5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу  ( x^c )'= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0  Пример:  (x² )' = 2x  (x³)'  = 3x²  6. Производная дроби 1/х  (1/х)' = - 1 / x²  Пример:  (1/x)' = (x^-1 )' , тогда можно применить формулу из правила 5  (x^-1 )' = -1x^-2 = - 1 / х²  7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе  ( 1 / x^c )' = - c / x^c+1  Пример:  ( 1 / x² )' = - 2 / x³  8. Производная переменной под квадратным корнем  ( √x )' = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х^-1/2  Пример:  ( √x )' = ( х^1/2 )'   значит можно применить формулу из правила 5  ( х^1/2 )' = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)  9. Производная переменной под корнем произвольной степени  ( ⁿ√x )' = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 ) 

45. Понятие сложной функции. Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию     можно рассматривать как композицию функций     и   .

Для записи композиции функций употребляется значок  . Например, запись    означает, что функция  h получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е.  . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Сложная функция обозначается   или  .

Производная сложной функции равна: