32. Ортогональное проектирование. Расстояние от точки до плоскости. Симметрия в пространстве.

Частным случаем параллельного проектирования является ортогональное проектирование. Это параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций.

Пусть даны плоскость α и прямая ℓ, перпендикулярная α. Возьмем произвольную точку пространства А₁, и проведем через неё прямую В₁, параллельную ℓ (соответственно перпендикулярную плоскости α). Прямая ℓ₁ пересечет плоскость α в некоторой точке А. Полученная точка А называется ортогональной проекцией точки А₁ на плоскость α.

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:  S _пр  =  S  cos φ.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости

35. Двугранный угол. Угол между плоскостям. Трёхгранный угол. Многогранный угол.

Д вугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Плоскости, образующие двугранный угол, называется его гранями. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90^о (меньше 90^о, больше 90^о)

Т рехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.

Многогранный угол (a₁a₂a₃ ... a_n) определяется как фигура, состоящая из n плоских углов с общей вершиной О.Грани и ребра многогранного угла определяются аналогично граням и ребрам трехгранного угла. Трехгранные углы составляют углы зданий, а многогранные углы — купола отдельных зданий, углы крыш.

56. Многогранник. Основные понятия. Правильные многогранники.

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.  Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины –вершинами многогранника.  Простейшие многогранники: куб, призма, пирамида.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с один и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.    У тетраэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.  У куба все грани – квадраты. В каждой вершине сходятся по три ребра. Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.  У октаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по четыре ребра.  У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.  У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой точке сходится по пять ребер.

71. Площадь поверхности призмы.

Площадью полной поверхности S_п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S_п = S_б + 2S, где S – площадь основания призмы, S_б – площадь боковой поверхности.

Площадью боковой поверхности S_б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадь боковой поверхности произвольной призмы  , где P - периметр перпендикулярного сечения, l - длина бокового ребра.

72. Площадь поверхности пирамиды.

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

где   — апофема боковой грани,   — периметр основания,   — число сторон основания,   — боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

73. Площадь поверхности цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра S_b = Ph

Для прямого кругового цилиндра:

P = 2πR, и S_b = 2πRh

Для прямого кругового цилиндра: S_p = 2πRh + 2πR² = 2πR(h + R)

74. Площадь поверхности конуса, усеченного конуса

Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую (l):

S=1/2Cl=ПRl

Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. Основание конуса есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

S₌π r l₊π r²₌π r (r₊ l)

Боковая площадь поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

S₌π (r₁₊ r₂) l

Полная площадь поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и его оснований. Основания усеченного конуса есть круги и их площадь вычисляется по формуле площади круга:

S₌π (r₁²₊(r₁₊ r₂) l₊ r₂²)