3.1.4 Другие системы счисления, используемые в компьютерных технологиях

Восьмеричная система счисления. Числа, записанные в системе с основанием 8, называются восьмеричными. Основание системы счисления - q = 8. Изображение чисел производится восьмью цифрами: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Восьмеричная система счисления используется в ЭВМ для кодирования команд в целях сокращения записи.

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления - q = 16. В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифры и буквы): { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F}. Широко применяется для написания кодов операций констант и других специальных слов, не требующих перевода в десятичную систему счисления. В таблице 3.1 приведен алфавит для четырех систем счисления.

Таблица 3.1 - Алфавит систем счисления.

Основание	Название	Алфавит
2	двоичная	0 1
8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
10	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Любое число по специальным правилам можно перевести из одной системы счисления в другую. Рассмотрим эти правила.

Допустим, число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием p. Числа, имеющие целую и дробные части, переводятся в два этапа: вначале целая часть числа, а затем дробная.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую осуществляется по следующему правилу:

• целую часть числа делим на новое основание p;

• полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием р;

• деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя;

• последнее частное дает старшую цифру числа с основанием р.

Пример. Число 191₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 191 на 8. Остатки от деления образуют восьмеричное число:

в результате 191₁₀ = 277₈.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую. Предположим, что правильную дробь Х, представленную в системе с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу:

• исходное число умножаем на новое основание р;

• полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

• дробную часть снова умножаем на основание р и т.д.

Пример. Перевести число 0,1875₁₀ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Результат: 0,1875₁₀ = 0,14₈ = 0,113₁₆.

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления и обратно. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к решению. Удобство ее использования состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и обратно несложен и выполняется простым механическим способом.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q =2ⁿ , нужно:

• данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

• если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

• рассмотреть каждую группу как n - разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Значит, для того чтобы произвольное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ , т. е. перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Перевод двоичных чисел в восьмеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в восьмеричной системе счисления, необходимо разбить его на триады (т.е. группы по 3 цифры, так как 8 = 2³), начиная от запятой, отделяющей целую часть от дробной части. После этого каждая триада заменяется одной соответствующей ей восьмеричной цифрой. Недостающие справа и слева цифры восполняются нулями.

Пример. Перевести число 1011101,10111₂ в восьмеричную систему счисления.

1011101,10111₂ = ê 001 ê 011 ê 101 ê, ê 101 ê 110 ê = 135,56₈

Перевод двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в 16-ричной системе счисления, необходимо разбить его на тетрады (группы из 4 цифр, т.к. 16 = 2⁴), начиная от запятой, в обе стороны. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей ей 16-ричной цифрой.

Пример Перевести число 1011101,10111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

1011101,10111₂ = ê0101 ê 1101 ê, ê 1011 ê 1000 ê = 5D,B8₁₆

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Для перевода 8-ричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной триадой. Для перевода 16-го числа в двоичную систему счисления достаточно каждую шестнадцатеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной тетрадой.

Пример. Число 1010100011,01011001₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления и восьмеричную.

Перевод осуществляется следующим образом:

0010	1010	0011,	0101	1001
2	А	3	5	9

т.е. 1010100011,01011001₂. =2А3,59₁₆

001	010	100	011,	010	110	010
1	2	4	3	2	6	2

т.е. 1010100011,01011001₂. =1243,262₈

При переходе из 8-ричного счисления в 16-ричное счисление и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа.