3.1.2 Позиционные системы счисления

Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной. Примером позиционной системы счисления является используемая нами десятичная система счисления. В ней любое число записывается с помощью десяти цифр: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Например, в записи 777 цифра 7 встречается три раза, но в каждой позиции она имеет разный смысл: крайняя левая цифра 7 означает сотни, следующая - десятки, и следующая цифра 7 - единицы. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа.

Например, 1999 - является 4-разрядным числом. Разряды нумеруются справа налево, и каждому разряду соответствует степень основания: 1₃9₂9₁9₀ . Тогда, число 1999 представляется в системе с десятичным основанием, как

1999=1*10³+9*10²+9*10¹+9*10⁰ .

Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - цифрой младшего разряда. Позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых в разрядах для отображения числа в данной системе счисления. В современных компьютерах используют позиционные системы счисления с основанием 2.

Любое число в позиционной системе счисления со степенными весами разрядов можно представить в виде ряда:

(3.1)

где, А _q - запись числа в системе счисления с основанием q; a_i - целое положительное число, меньше q; n – число разрядов в целой части числа; m – число разрядов в дробной части числа.

Таким образом, любое число можно разложить в сумму по степеням основания системы счисления в виде (3.1). На практике используют сокращенную запись чисел, т.е.

(3.2)

_{Так как за основание можно принять любое целое число, возможно множество позиционных систем, например, двоичная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная. При этом в двоичной системе алфавит состоит из двух цифр: 0 и 1; в десятеричной – из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; в шестнадцатеричной – из цифр 0…9 и символов А, B, C, D, E, F для обозначения цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.}

Чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, следовательно, и меньшее время для его передачи. Однако, с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.

_{В большинстве случаев в ЭВМ используют двоичные или двоично-кодированные системы счисления. Широкое распространение этих систем обусловлено тем, что элементы ЭВМ способны находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний. Задача различения сигналов сводится в этом случае к задаче обнаружения (есть импульс или его нет). Если одно из таких устойчивых состояний принято за 0, а другое – за 1, то достаточно просто изображаются разряды двоичного числа.}

Таким образом, системы счисления используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.