- •1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
- •2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
- •3. Критерий угловой точки множества.
- •4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
- •5. Связь между переменными злп.
- •7. Построение симплекс-таблицы. Достаточное условие оптимизации в задаче лп. Достаточное условие неразрешимости задачи лп.
- •8. Итерация симплекс-метода.
- •9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.
- •10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.
- •11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.
- •12. Свой-ва решений злп.
- •13. Постановка тз. Построение плана перевозок методом северо-западного угла.
- •14.Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.
- •Замечание Транспортная задача, для которой выполняется условие (1) называется закрытой, в противном случае – открытой.
- •15.Исследование множества клеток транспортной таблицы.
- •16.Достаточное условие минимальности стоимости перевозок
- •17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
- •18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
- •20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
- •21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.
- •23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
- •24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
- •25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
- •27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
- •Пример . Множ-во решений задачи min-ции f(X)
- •28.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
- •29.Метод золотого сечения.
- •30.Метод ломаных. Обоснование и алгоритм. Пример.
- •31.Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одомерной минимизации
- •33. Алгоритм метода условного градиента
- •Теорема3
- •35. Сходимостсь метода скорейшого спуска
- •36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.
- •Определим множество:
- •Замечание
- •37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:
- •38. Уравнение Эйлера.
- •39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
- •40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
- •41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
- •42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
- •43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
- •44. Принципы динам програм и функцон ур-ния Беллмана.
- •45. Постановка задачи оптимального быстродействия.
- •46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
- •47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
Пусть в задаче ОБ движение объекта подчиняется системе (1) ДУ: (1).
Т1: Пусть некоторое допустим управление, - соотв решение системы(1), удовл гранич условиям ; опред на отр . На отр времени сущ решение вспомагат системы (2) с нач условием , где – сфера. Пара вместе с решением системы(2) удовлетв след условиям:1. усл максимума: , (3), для почти всех (за исключением меры мн-ва ); 2. усл трансверсальности на мн-ве : (4); 3. усиленное усл трансверсальности на мн-ве : (5), выполняется .Тогда управление оптимально. Док-во: Пусть некоторое допустимое управление и соотв ему решение системы (1) на отрезке времени . Определим ф-цию (6). Покажем, что (7) для почти всех . Нер-во (7) доказано. Предположим, что выполн усл теоремы, но управлен не явл оптим.; т.е. сущ управл и соотв ему реш , кот переводит объект из мн-ва на мн-во , при . Рассм знач ф-и (8). Ф-ция может быть представлена: и из нер-в (8) и (7) . Рассмотрим значение и скаляр произведение {из усл (5)} , тогда .
47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
Пример A= u=
U={u є R2| u1=0, |u2| 1} M0 ={x0}є R2 , M1={0}
A*= C1,С2- const
усл. Max c(U, )=max(u, )=max u2 2 =| 2|
(u(t), (t))=| 2|, u2(t) 2(t) =| 2(t)|
1, 2>0
u2= [-1;1], 2(t)=0
-1, 2<0
2) усл. трансверсальности на M0
(x(t0), (t0))=C(M0, 2(t0))=(x0, (t0))
x(t0)=X0
3) усл. трансверсальности на M1
(x(t1), - (t1))=C(M1, - (t1))=0
x(t1)=0
I
II
Усиленное условие трансверсальности (x(t), - (t))>0 tє[0;t1) Предположим, что начальная точка нах-ся выше линии переключения управления. Обозн. через момент переключения уровня
Рассмотрим моменты времени tє[ ,t1)
Т.к.
При tє[0; )
( ; )= - начальная точка
При чем
Если точка лежит ниже линии переключения, то рассуждения симметричны.