23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
(1)
(2)
Опр.
Задача (1),(2) наз нормальной в точке
,
если среди обобщенных векторов Л.,
ссответств точке
нет таких, что
;
вектор
в таком случае наз норм-ным.
Опр.
Вектор
наз обыкн планом, если вектора (3)
лин независимы. Зам1.
Условие (3) наз усл Люстерника. Т1
Оптим план
явл нормальнам тогда и только тогла,
когда он обыкновенный.
Док-во:
Необх.
Пусть
-оптим
норм план, и.е. сущ такие множит
,
что
(4).
Причем, т.к.
–норм
план, то
.
Предположим, что при этом план
не явл обыкновенным, т.е. вектора
(5)
явл лин зависим
найдутся числа
одновременно
,
обращающие в 0 лин комбинацию векторов
(5). Тогда в рав-ве (4) при найденных знач
получим, что
.
Тогда можно взять и
,
что противоречит норм-ти плана
.
Достат.
Пусть
явл оптим обыкнов
вектора
(*)
явл лин независ. По Т об обобщ прав мн
Л. сущ числа
,
одновременно
,
что
.Предположим, что план
не явл норм,
,
тогда получаем, что среди чисел
есть
,
что означаем лин зависимость векторов
(*).?!.
Т2 (классич
правило мн Л).
Ф-ция Л.
при
наз классич ф-цией Л, и обознач
:
.
Пусть на оптим плане
задачи (1),(2) вектора (*) лин независ, тогда
сущ и единственны числа
,
такие что
(6).
Док-во.
В усл Т2 вектор
явл норм, т.е. в условиях обобщенного
правила мн Л можно считать
.
Тогда 1-ое из условий (6) предст собой
условие обобщенного правила мн Л, а 2-ое
– систему ограничений исходной задачи.
Пусть
в задаче (1),(2) ф-ции
Опр.Вектор
наз направлением допустимым в точке
по огранич
,
если
и скал произведение
.
Допустим направл явл касательным
направлением по соответств ограничению.
Опр.
Вектор
наз допустимым направл по ограничениям
задачи (1),(2) в точке
,
если этот вектор явл допустимым
направлением по каждому ограничению
задачи (1),(2). Опр.
Вектор
наз подходящим направл ф-ции
в точке
,
если скал произв
.Подходящ напр ф-ции явл направлением
её убывания. Опр.
Вектор
наз подходящим напр задачи (1),(2) в точке
,
если этот вектор явл допустимым по всем
ограничениям задачи и явл подходящим
напр её целевой ф-ции. Т1.
Если
явл оптим, обыкнов. планом задачи (1),(2),
то в точке
не сущ подходящих направлений
задачи(1),(2), т.е. для всех векторов
,
удовл условию
(7),
Зам.
Если решается задача на максимум и точка
явл оптим, обыкнов планом , то для всех
векторов удовлетворяющих (7) вып нер-во
.
Зам.
Т1 предст собой необх усл 1-го порядка.
Т2 Пусть
в задаче (1),(2) ф-ции
.
Если
явл оптим, обыкнов планом задачи (1),(2),
а
-
соответств ему вектор мн Л, то квадратичная
форма
для всех векторов
,
удовл усл (7).
Зам.
Если решается задача на максимум, то
квадрат форма втор производных ф-ции Л
,
т.е.
для всех векторов удовлетв (7).