38. Уравнение Эйлера.

Лемма. Если рав-во выполнено для некоторой непрерывной ф-ии и всех непрерывных ф-ий , удовлет условию , то на . Док-во.Пусть . Для ф-ии , кот.удовлетворяет условиям леммы, рассмотрим .(1). Вместо в (1) подставим . Тогда , т.к. -непрерывная ф-ия. Сл. Если -непрерывная ф-ия, то . Док-во. по условиям леммы. Теор. Если кривая доставляет слабый locmin в простейшей ЗВИ, то на ней выполнено ДУ Эйлера (2) с краевыми условиями (3). Док-во. Если кривая доставляет слабый locmin ПЗВИ, то ,где , Рассмотрим

Тогда

Используя следствие к лемме получим (4). Уравнение (4) называется интегр.уравн.Эйлера, его решение называется экстремалью. Перепишем (4) так . В правой части стоит ф-я диф. по t, значит и в левой части стоит ф-я диф. по t,

39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.

Теорема: Если кривая доставляет слабый locmin в простейшей ЗВИ, то на ней выполняется диф ур-ние Эйлера: (1) с краевыми условиями , (2) Док-во: Если краевая доставляет слабый locmin простейшей ЗВИ, то первая вариация функционала

, здесь ф-ции , Рассм интеграл:

, тогда по следствию к лемме, получим: (3) Ур-ние (3) наз интегральным ур-нием Эйлера, а любое его решение – экстремалью Перепишем ур-ние (3) в виде: В последнем рав-ве в правой части стоит ф-ция диф-мая по , значит и в левой части функция диф-мая по и следов-но справедливо рав-во: последнее ур-ние и есть ур-ние (1). Т. доказана.Замечание: В развернутом виде Ур-ние Эйлера представляется как , т.е. явл диф-ным ур-нием 2-го порядка. Значение постоянных в общем решении этого ур-ния определяется из краевых условий (2)Экстремаль наз особой в точке из отр-ка , если Замечание: Экстремаль всегда будет особой для всех , если ф-ция явл линейной по , т.е. ф-цию F можно представить в виде: Выпишем ур-ние Эйлера для такой ф-ции F: (4) Если (4) не явл тождеством, то оно определяет некот линию , которая будет проходить через заданные граничные точки лишь в исключительных случаях. Если же рав-во (4) явл тождеством, то положим , ,получим: , т.е. знач-е функционала не зависит от выбора кривых, соединяющих граничные точки.В каждом из рассмотренных случаев задача вырождается.ПРИМЕР , , , , , Подставляя краевые значения, получаем: Экстремаль:

40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.

1. Рассмотрим задачу (1) где определена и непрерывна со всеми частными производными до 2-ого порядка включительно, , является заданным, а значения не закреплены (свободны). Пусть траектория является подозрительной на достижение экстремума функционала (1).

Рассм вариации Лагранжа , где .

Тогда , где .

И образуем 1-ую вариацию функционала:

(2)

Т.о. доказали теор 1.

Теорема1: Если доставляет функционалу (1) в случае, когда отрезок задан, не закреплены, то кривая удовлетворяет уравнению Эйлера (3) с краевыми условиями (2).

Замечание: Если левый или правый конец траектории закреплён, то первое или второе из условий (2) заменяется или .

2. Ищем (1) при условиях когда отрезок не фиксирован. Значение ф-ии на концах отрезка не заданы. Пусть явл решением рассм задачи. Тогда найдётся такие , что кривая удовлетворяет уравн Эйлера (3) и краевым условиям (2). Определим условие для значений . Рассм , , где - произвольные приращения интервала, . И предположим продолжимость решения на отрезок , если это необходимо. Рассм (4)

(*)-по теор о среднем интеграл равен значению подинт ф-ии в некотор т из интервала интегрирования, умнож на длину интервала + о от длины интервала инт.

В (4) рассм , разделим на и .

, тогда

(5)

(6)

(4) должно выполняться для . Значит (5) и (6) должны выполняться одновременно. Значит:

(7)

В (7) произвольны и независимы друг от друга, поэтому

(8)

Т.о. справедлива теор 2.

Теорема 2. Если доставляет слабый минимум функционалу (1) в задаче с незакреплёнными концами, то кривая удовл ДУ Эйлера (3) и условиям (7) и (8).