25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства

Определение. Пусть в области определена функция . Разобьем область сетью гладких кривых на конечное число областей . Возьмем произвольно в каждой области по точке . Обозначим через площадь фигуры , а через наибольший из диаметров частичных областей (диаметром точечного множества называется точная верхняя граница расстояний между двумя произвольными точками множества). Сумму

.

будем называть интегральной суммой для функции в области . Конечный предел интегральных сумм при называется двойным интегралом функции в области и обозначается символом

. (1)

Функция, имеющая интеграл, называется интегрируемой в .

Геометрический смысл двойного интеграла (1) – это объем тела, ограниченного снизу – плоской фигурой , сверху – поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси

Утверждение. Интегрируемая функция ограничена.

(без доказательства)

Теорема. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема.

(без доказательства)

Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.

Теорема. Если область , в которой задана функция кусочно-гладкой кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость на частях, и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в . При этом

.

Теорема. Если ограниченная в функция имеет разрывы разве лишь на конечном числе гладких кривых, то она интегрируема в .

Линейность.

Если функции и интегрируемы в , то для любых чисел и линейная комбинация также интегрируема, причем

.

Интегрирование неравенств.

Если для интегрируемых в функций и выполнено неравенство , то

.

Оценка модуля интеграла.

Если функция интегрируема в , то интегрируемой будет и функция , причем

.

Лемма (об оценке интеграла). Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то .

27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл и – при каждом постоянном значении из - интеграл

,

то существует также повторный интеграл и выполняется равенство

.

Схема доказательства. Разобьем отрезки и соответственно на части и . Тогда прямоугольник разобьется на части . Для площадей этих частей справедлива формула .

Имеем

Меняя роли переменных и , можно, разумеется, доказать и формулу

.

Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.

Теорема. Если функция непрерывна в области , ограниченной снизу и сверху двумя гладкими кривыми и , а с боков – прямыми и , то выполняется равенство

. (2)

Доказательство. Возьмем

, ,

и определим в прямоугольнике функцию

.

Функция ограничена на и может иметь разрывы только в точках, лежащих на гладких кривых и . Следовательно, она интегрируема на , причем

. (3)

Очевидно также, что при каждом существует интеграл

. (4)

Таким образом, для функции на выполнены все условия предыдущей теоремы и справедлива формула

. (5)

Подставив (3) и (4) в (5), получим (2).

Область, описанная в условиях теоремы называется «правильной в направлении оси ».

Если функция будет непрерывной в области , ограниченной слева и справа двумя гладкими кривыми и , а снизу и сверху – прямыми и , то выполняется равенство

.

Такая область называется «правильной в направлении оси ».

В случае более сложного контура область можно попробовать разложить на конечное число областей рассмотренных типов.