- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Интегрируемость непрерывных функций
- •Свойства определенного интеграла (об изменении знака, свойства линейности и аддитивности). Найдите…
- •Определенный интеграл
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •17. Интеграл по симметричному промежутку для четной и нечетной функции
- •18. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •19. Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •20. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения. Объем тела вращения. Вывод формулы.
- •21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства
- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.
- •Линейность.
- •Оценка модуля интеграла.
- •27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
- •28. Полярная система координат и переход к ней под знаком двойного интеграла.
- •34) Необходимый признак сходимости числового ряда (доказать)-
- •37) Лнду (Метод Лагранжа).
- •38) Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
- •Теорема.
- •43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
- •44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на промежутке . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная функция интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, A]. Тогда интегралом от этой функции по бесконечному
промежутку назовем . Обозначать этот интеграл будем как . Таким образом
=
Эталонный интеграл. интеграл
Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1) . Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку при имеем и
2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .
3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .
22) Свойства несобственных интегралов.
А) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ бесконечности], то:
Из сходимости следует сходимость .
Из расходимости следует расходимость .
Теорема очевидна из геометрического смысла.
Б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.
Если несобственный интеграл 1 рода сходится, то тоже сходится.
Следует из первого свойства.
23)Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
Опр. 1.Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно. Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость: 15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. 16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл . 1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .
Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится. 2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится. Вывод - исходный интеграл сходится условно.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: признак сходимости Абеля: 1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно); 2. g(x) монотонна и ограничена: . Тогда интеграл сходится. признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ; 2. g(x) монотонно стремится к нулю при : . Тогда интеграл сходится. Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.
24) Несобственные интегралы 2 рода.
Определение 1.
Интеграл вида: , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода. Называется несобственным интегралом 2 рода.
Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.
Определение 2.
Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.
Пусть функция y=f(x) имеет разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.
Определение 3.
Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.
Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.
интеграл
Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1) . Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку при имеем и
2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .
3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .