- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Интегрируемость непрерывных функций
- •Свойства определенного интеграла (об изменении знака, свойства линейности и аддитивности). Найдите…
- •Определенный интеграл
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •17. Интеграл по симметричному промежутку для четной и нечетной функции
- •18. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •19. Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •20. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения. Объем тела вращения. Вывод формулы.
- •21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства
- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.
- •Линейность.
- •Оценка модуля интеграла.
- •27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
- •28. Полярная система координат и переход к ней под знаком двойного интеграла.
- •34) Необходимый признак сходимости числового ряда (доказать)-
- •37) Лнду (Метод Лагранжа).
- •38) Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
- •Теорема.
- •43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
- •44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Уравнение
(9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Если функция ) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.
Уравнение
(9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Т. к. функция ) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части.
Уравнение (9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).
Система функций называется линейно независимой в интервале , если тождество ( - постоянные числа)
может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения (9.2), то система решений одно-родного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает общее решение однородного уравнения (9.2), ( все - константы ).
1°. Однородное уравнение. Рассмотрим три случая.
(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
.
Функция дает общее решение одно-родного уравнения (9.2) ( все - константы ).
П. 9.1 .
Записываем характеристическое уравнение . Его корни ,
; фундаментальная система решений ;
- общее решение.
П. 9.2 . Начальные данные: при .
Корни характеристического уравнения . Общее ре-шение . Т. к. , то для определения костант
имеем два уравнения: . Значит, - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным.
(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть
комплексные.
Каждому вещественному корню по-прежнему соответствует частное решения , а каждой паре комплексных сопряженных корней соответствуют два линейно-независимых частных решения :
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют ве-щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П. 9.3
Находим корни характеристического уравнения или
. Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней (a=0, b=3, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаменталь-ная система решений : . Записываем общее решение
.
П. 9.4
Характеристическое уравнение: ,
, ( a=3, b=2 ). Фундаментальная система решений :
.
Общее решение .
П. 9.5 . Начальные данные: при .
Корни характеристического уравнения .
Фундаментальная система решений : .
Общее решение . Для определения констант находим .
.
При . Т.о. , частное решение, удов-летворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:
.
(♠♠♠) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
В этом случае каждому вещественному корню кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида
,
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
,
а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П. 9.6
Корни характеристического уравнения кратны, . Кратность вещественного корня . Фундаментальная система
решений : . Общее решение .
П. 9.7
Корни характеристического уравнения комплексны и кратны, . Кратность пары комплексно-сопря-женных корней , (a=0, b=2, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаментальная систе-ма решений : .
Общее решение .
П. 9.8
Характеристическое уравнение имеет двукратный вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней , . Фундаментальная система решений : .
Общее решение .
П. 9.9
Характеристическое уравнение имеет простой вещественный корень и двукратную пару комплексно-сопряжен-ных корней , корни чисто мнимые).
Фундаментальная система решений : .
Общее решение .
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно найти по формуле (формула верна и в том случае, когда коэффици-енты не являются константами) , где - частное решение неоднородного уравнения, а
- общее решение однородного уравнения .
Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо найти общее решение однородного уравнения и частное решение
неоднородного .
Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид. Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.
(♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).
Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
еорема. Линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение
,
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).